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2.2.4平面与平面平行的性质【选题明细表】 知识点、方法题号面面平行的性质1,2面面平行的性质的应用4,7,8,9,10综合应用3,5,6,11基础巩固1.下列命题中不正确的是(A)(A)两个平面,一条直线a平行于平面,则a一定平行于平面(B)平面平面,则内的任意一条直线都平行于平面(C)一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行(D)分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线解析:选项A中直线a可能与平行,也可能在内,故选项A不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行,所以选项C正确;依据平面与平面平行的性质定理可知,选项B,D也正确,故选A.2.已知两条直线l,m,是两个平面,下列命题正确的是(D)(A)若,l,则l(B)若l,m,则lm(C)若,l,m,则lm(D)若,l,则l解析:A,l可能在内,B,l与m可能相交、平行、异面,C,与B一样的结论.D正确.3.已知平面平面,直线a,直线b,则ab;a,b为异面直线;a,b一定不相交;ab或a,b异面,其中正确的是(C)(A)(B)(C)(D)4.平面截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面必定和这个三棱锥的(C)(A)一个侧面平行(B)底面平行(C)仅一条棱平行(D)某两条相对的棱都平行解析:当平面某一平面时,截面为三角形,故选项A,B错.当平面SA时,如图截面是四边形DEFG,又SA平面SAB,平面SAB=DG,所以SADG,同理SAEF,所以DGEF,同理当BC时,GFDE,因为截面是梯形,所以四边形DEFG中仅有一组对边平行,故仅与一条棱平行.故选C.5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中过BD1的平面,分别与AA1,CC1交于M,N,则四边形BND1M的形状为.解析:由题意知,平面A1ABB1平面C1CDD1,所以MBD1N,同理,D1MBN.所以四边形BND1M是平行四边形.答案:平行四边形6.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=a3,过P,M,N的平面与棱CD交于Q,则PQ= .解析:由线面平行的性质知MNPQAC,所以PQAC=23,又AC=2a,所以PQ=223a.答案:223a7.如图所示,已知正三棱柱(底面是正三角形,侧面是矩形)ABC-A BC中,D是AA上的点,E是BC的中点,且AE平面DBC.试判断D点在AA上的位置,并给出证明.解:D点为AA的中点.证明如下:如图,取BC的中点F,连接AF,EF,设EF与BC交于点O,连接DO,易证AEAF,AE=AF.易知四边形AEFA为平行四边形.因为AE平面DBC,AE平面AEFA,且平面DBC平面AEFA=DO,所以AEDO.因为ECBF,则EC=BF,所以EO=OF.在平行四边形AEFA中,因为O是EF的中点,所以D点为AA的中点.能力提升8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是平面A1B1C1D1内一点,则BM平面ACD1,且tanDMD1的最大值为(D)(A)22(B)1(C)2(D)2解析:如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C1,B1D1,交于点O1,连接BD,交AC于点O,连接BO1,OD1,则A1AC1C,且A1A=C1C,所以四边形ACC1A1是平行四边形,所以ACA1C1.又AC平面ACD1,且A1C1平面ACD1,所以A1C1平面ACD1;同理BO1D1O,BO1平面ACD1,所以平面ACD1平面BA1C1,所以当M在直线A1C1上时,都满足BMACD1;所以tanDMD1=DD1MD1=122=2是最大值.9.如图,已知平面,两条直线l,m分别与平面,相交于点A,B,C与D,E,F.已知AB=6,DEDF=25,则AC=.解析:由题意可知DEDF=ABACAC=DFDEAB=526=15.答案:1510.如图,平面平面,A,C,B,D,点E,F分别在线段AB与CD上,且AEEB=CFFD,求证:EF平面.证明:(1)若直线AB和CD共面,因为,平面ABDC与,分别交于AC,BD两直线,所以ACBD.又因为AEEB=CFFD,所以EFACBD,所以EF平面.(2)若AB与CD异面,连接BC并在BC上取一点G,使得AEEB=CGGB,则在BAC中,EGAC,AC平面,所以EG,又因为,所以EG.同理可得GFBD,而BD.所以GF,因为EGGF=G,所以平面EGF.又因为EF平面EGF,所以EF.综合(1)(2)得EF平面.探究创新11.如图,已知,点P是平面,外的一点(不在与之间),直线PB,PD分别与,相交于点A,B和C,D.(1)求证:ACBD;(2)已知PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求PD的长;(3)若点P在与之间,试在(2)的条件下求CD的长.(1)证明:因为PBPD=P,所以直线PB和PD确定一个平面,记为,则=AC,=BD.又,所以ACBD.解:(2)由(1)得ACBD,所以PAAB=PCCD,即45=3CD.所以CD=154(cm),所以PD=PC+CD=274(cm).(3)同(1)得ACBD,所以PACPBD.所以PAPB=PCPD,即PAAB-PA=PCPD.所以45-4=3PD,所以PD=34(cm).所以CD=PC+PD=3+34=154(cm).
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