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4.4生活中的优化问题举例一、基础达标1方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A4 B6 C4.5 D8答案A解析设底面边长为x，高为h，则V(x)x2h256，h，S(x)x24xhx24xx2，S(x)2x.令S(x)0，解得x8，h4.2某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0.016 2 B0.032 4 C0.024 3 D0.048 6答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)当0x0；当0.032 4x0.048 6时，y0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为3.4用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为()A120 000 cm3 B128 000 cm3C150 000 cm3 D158 000 cm3答案B解析设水箱底边长为x cm，则水箱高h60(cm)水箱容积VV(x)x2h60x2 (0x0.求导数，得S(x)2.令S(x)20，解得x16(x16舍去)于是宽为8.当x(0,16)时，S(x)0.因此，x16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使四周空白面积最小二、能力提升8把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()A. cm2 B4 cm2 C3 cm2 D2 cm2答案D解析设一个正三角形的边长为xcm，则另一个正三角形的边长为(4x)cm，则这两个正三角形的面积之和为Sx2(4x)2(x2)242(cm2)，故选D.9某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A150 B200 C250 D300答案D解析由题意得，总利润P(x)令P(x)0，得x300，故选D.10.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a_，b_时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)答案63解析设y为流出的水中杂质的质量分数，则y，其中k(k0)为比例系数依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b2ab2a60(a0，b0)得b.于是y.(0a30)令y0，得a6或a10(舍去)只有一个极值点，此极值点即为最值点当a6时，b3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小11某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)令f(x)0，得512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小12一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.则总费用f(x)(kx3200)a(kx2)由已知条件，得40k203，k，f(x)a(0x100)令f(x)0，得x10.当0x10时，f(x)0；当10x0.当x10时，f(x)有最小值，即速度为10 km/h时，总费用最少三、探究与创新13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故l.由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，03，所以c20.当r30时，r.令m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，令y0，得rm.当r(0，m)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2，即3c时，当r(0,2时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3时，建造费用最小时r.
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