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2.4.1抛物线的标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一抛物线的定义1平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于11)知识点二抛物线的标准方程由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0)现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y1到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线()2拋物线标准方程中的p表示焦点到准线的距离()3拋物线的方程都是二次函数()4抛物线的开口方向由一次项确定()题型一求抛物线的标准方程例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程(1)经过点(3，1)；(2)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1)因为点(3，1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p.故所求抛物线的标准方程为y2x或x29y.(2)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所以抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3，所以p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，4，所以p8，此时抛物线的标准方程为y216x.故所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)，这样可以减少讨论情况的个数跟踪训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且，则p，故所求抛物线的标准方程为x2y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y.题型二抛物线定义的应用命题角度1利用抛物线定义求轨迹(方程)例2已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，求动圆圆心M的轨迹方程考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用解设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y.反思感悟解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件跟踪训练2已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x3相切，求动圆圆心M的轨迹方程考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用解设动点M(x，y)，M与直线l：x3的切点为N，则|MA|MN|，即动点M到定点A(3,0)和定直线l：x3的距离相等，点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x3为准线，3，p6，故动圆圆心M的轨迹方程是y212x.命题角度2利用抛物线定义求最值例3如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时P点坐标考点求抛物线的最值问题题点根据抛物线定义转换求最值解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d.由图可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值为.即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2.点P坐标为(2,2)引申探究若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2)，求点P到点A的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可知，P点，A点和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d.反思感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等跟踪训练3已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A.B.C2D.1考点求抛物线的最值问题题点根据抛物线定义转换求最值答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.抛物线的实际应用问题典例河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航素养评析首先确定与实际问题相匹配的数学模型此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：(1)建系：建立适当的坐标系(2)假设：设出合适的抛物线标准方程(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程(4)求解：求出需要求出的量(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题1抛物线y2x的准线方程为()AxBxCyDy答案B解析抛物线y2x的开口向右，且p，所以准线方程为x.2已知抛物线y2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为()A(1,0) B.C.D(0,1)考点求抛物线的焦点坐标及准线方程题点求抛物线的焦点坐标答案C解析由抛物线y2px2过点(1,4)，可得p2，抛物线的标准方程为x2y，则焦点坐标为，故选C.3已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4B2C4或4D12或2答案C解析由题意可设抛物线的标准方程为x22py(p0)，由定义知点P到准线的距离为4，故24，p4，x28y.将点P的坐标代入x28y，得m4.4若抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.答案2解析因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1，p2.5若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.答案2解析抛物线y22px(p0)的准线方程是x，因为抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点F1(，0)，所以，解得p2.1焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点为F，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为F，准线方程为y.2设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0.一、选择题1关于抛物线x4y2，下列描述正确的是()A开口向上，焦点坐标为(0,1)B开口向上，焦点坐标为C开口向右，焦点坐标为(1,0)D开口向右，焦点坐标为答案D解析由x4y2得y2x，开口向右，焦点坐标为.2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1)答案B解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题设知1，即p2，故焦点坐标为.3已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A.B1C2D4答案C解析抛物线y22px的准线方程为x，它与圆相切，所以必有34，p2.4若动点P与定点F(1,1)和直线l：3xy40的距离相等，则动点P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D直线答案D解析方法一设动点P的坐标为(x，y)则.整理，得x29y24x12y6xy40，即(x3y2)20，x3y20.所以动点P的轨迹为直线方法二显然定点F(1,1)在直线l：3xy40上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线5若点P在抛物线y2x上，点Q在圆(x3)2y21上，则|PQ|的最小值是()A.1B.1C2D.1答案D解析设圆(x3)2y21的圆心为O(3,0)，要求|PQ|的最小值，只需求|PO|的最小值设点P坐标为(y，y0)，则|PO|，|PO|的最小值为，从而|PQ|的最小值为1.6抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.B.C.D0答案B解析抛物线方程化为x2y，准线为y，由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1.7已知直线l与抛物线y28x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是()A.B.C.D25答案A解析抛物线的焦点F的坐标为(2,0)，直线l的方程为y(x2)由得B点的坐标为.|AB|AF|BF|282.AB的中点到准线的距离为.8已知点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|PQ|的最小值为()A7B8C9D10考点抛物线的定义题点抛物线定义与其它知识结合的应用答案C解析抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y1，根据抛物线的定义知，|PF|PM|PQ|1.|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|PQ|的最小值为9.二、填空题9已知抛物线y22x上一点P(m,2)，则m_，点P到抛物线的焦点F的距离为_答案2解析将(m,2)代入抛物线中得42m，得m2，由抛物线的定义可知点P到抛物线的焦点F的距离为2.10设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为_答案解析如图所示，由已知，得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B.将其代入y22px，得12p，解得p，故点B到准线的距离为p.11设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|_.答案8解析如图所示，直线AF的方程为y(x2)，与准线方程x2联立得A(2,4)设P(x,4)，代入抛物线方程y28x，得8x48，x6，|PF|x28.三、解答题12已知拋物线的顶点在原点，焦点在y轴上，拋物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值，拋物线方程和准线方程解设所求拋物线方程为x22py(p0)，则焦点为F.M(m，3)在拋物线上，且|MF|5，解得m2，拋物线方程为x28y，准线方程为y2.13平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用解方法一由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x0)，其准线l的方程为y.准线l与圆x2y21相切，圆心(0,0)到准线l的距离d01，解得p2.故抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题意得F(0,1)，(x2，y21)，(x1，y1)，2，(x2，y21)2(x1，y1)(2x1,2y1)，即代入得4x8y14，即x2y11，又x4y1，所以4y12y11，解得y1，x1，即点A的坐标为或.
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