2019-2020年苏教版高中数学（必修5）1.3《正弦定理、余弦定理的应用》word教案2篇.doc

2019-2020年苏教版高中数学（必修5）1.3正弦定理、余弦定理的应用word教案2篇教学过程：.课题导入解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用.讲授新课例1自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为195 m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为140 m，计算BC的长（保留三个有效数字）.分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC140 m，AB195 m，BAC606206620.相当于已知ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理.解：由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosA195214022195140cos66203571BC189（m）答：油泵顶杆BC约长189 m.评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以9 n mileh的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mileh的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间. 分析：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x h，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的1，2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用x表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题.解：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x h，则AB21x n mile，BC9x n mile，AC10 n mile，ACB1245（180105）120根据余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcos120得（21x）2102（9x）22109xcos120，即36x29x2100解得x1，x2（舍去）AB21x14，BC9x6再由余弦定理可得：cosBAC09286，BAC2147，4521476647.而舰艇方位角为6647，小时即40分钟.答：舰艇应以6647的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟.评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0，360）.在利用余弦定理建立方程求出x后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利用余弦定理.从上述两个例题，大家可以看出，实际问题的解决关键在于转化为具体的解三角形问题，从而与我们已知的知识方法产生联系.在下面的例题分析中，我们继续加以体会.例3如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处（1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间. 解：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD10t海里，BD10t海里.BC2AB2AC22ABACcosA（1）2222（1）2cos1206BCsinABCABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120sinBCD，BCD30，DCE903060由CBD120，BCD30，得D30BDBC，即10tt（小时）15（分钟）答：缉私船沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟.例4用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.分析：在RtEGA中求解EG，只有角一个条件，需要再有一边长被确定，而EAC中有较多已知条件，故可在EAC中考虑EA边长的求解，而在EAC中有角，EAC180两角与BDa一边，故可以利用正弦定理求解EA.解：在ACE中，ACBDa，ACE，AEC，根据正弦定理，得AE在RtAEG中，EGAEsinEFEGbb，答：气球的高度是b.评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设EGx，在RtEGA中，利用cot表示AG；在RtEGC中，利用cot表示CG，而CGAGCABDa，故可以求出EG，又GFCDb，故EF高度可求.例5如图所示，已知半圆的直径AB2，点C在AB的延长线上，BC1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.分析：要求四边形OPDC面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P在半圆上运动与POB大小变化之间的联系，自然引入POB作为自变量建立函数关系.四边形OPDC可以分成OPC与等边PDC，SOPC可用OPOCsin表示，而等边PDC的面积关键在于边长求解，而边长PC可以在POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决.解：设POB，四边形面积为y，则在POC中，由余弦定理得PC2OP2OC22OPOCcos54cosySOPCSPCD12sin（54cos）2sin（）当即时，ymax2.评述：本题中余弦定理为表示PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性.另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式sin()sincoscossin的构造及逆用，应要求学生予以重视.课堂练习课本P20 练习1，2，3，4.课时小结通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力.课后作业课本P21习题 1，2，3.解三角形应用举例（二）教学目标：进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用，熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产，生活实际中所发挥的重要作用.教学重点：1.实际问题向数学问题的转化；2.解斜三角形的方法.教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定.教学过程：.复习回顾上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧.这一节，我们给出三个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决.例题指导例1如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CDa和ACD，BCD，BDC，ADC，试求AB的长.分析：如图所示，对于AB求解，可以在ABC中或者是ABD中求解，若在ABC中，由ACB，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解.而AC可在ACD内利用正弦定理求解，BC可在BCD内由正弦定理求解.解：在ACD中，已知CDa，ACD，ADC，由正弦定理得AC在BCD中，由正弦定理得BC在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB，所以用余弦定理.就可以求得AB评述：（1）要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用；（2）注意体会例1求解过程在实际当中的应用.例2据气象台预报，距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在ABS中，由余弦定理可求SB.解：设台风中心经过t小时到达B点，由题意，SAB903060在SAB中，SA300，AB30t，SAB60，由余弦定理得：SB2SA2AB22SAABcosSAB3002（30t）2230030tcos60若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|270，即SB22702化简整理得，t210t190解之得，5t5所以从现在起，经过5小时S岛开始受到影响，（5）小时后影响结束.持续时间：（5）（5）2小时.答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2小时. 评述：此题为探索性命题，可以假设命题成立去寻求解存在条件，也可假设命题不成立去寻求解存在条件.本题求解过程采用了第一种思路.SB270是否有解最终转化为关于t的一元二次不等式是否有解，与一元二次不等式解法相联系.说明：本节两个例题要求学生在教师指导下自己完成，以逐步提高解三角形应用题的能力.练习：1.海中有一小岛B，周围38海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75东，航行8海里到C，望见岛B在北60东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?答案：不会触礁.2.直线AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 kmh速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.答案：约1.3小时.课时小结通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力.课后作业课本P21习题 4，5，6.V.板书设计第 6 课时：1.3 正弦定理、余弦定理的应用（2）【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；二、过程与方法本节课是解三角形应用举例的延伸，利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题 三、情感、态度与价值观1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力2.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神【教学重点与难点】：重点：利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题难点：利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题【学法与教学用具】：1. 学法：能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法。2. 教学用具：直尺、多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题总结解斜三角形的要求和常用方法：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题：已知三边求三内角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角. 二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1（教材第7题）如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上，起初甲离点千米，乙离点千米，后来两人同时用每小时千米的速度，甲沿 方向，乙沿方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含的式子表示小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）设甲、乙两人起初的位置是、，则 ，起初，两人的距离是（2）设甲、乙两人小时后的位置分别是，则，当时，；当时，所以，（3），当时，即在第分钟末，最短。答：在第分钟末，两人的距离最短。图1-3-3例2（教材例3）作用在同一点的三个力平衡.已知， ，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）.解：应和合力平衡，所以和在同一直线上，并且大小相等，方向相反.如图1-3-3，在中，由余弦定理，得.再由正弦定理，得，所以，从而.答 为，与之间的夹角是.本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析：由图根据余弦定理可求出，再根据正弦定理求出.例3（教材例4）如图1-3-4，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？分析：四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定，因此可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.解：设.在中，由余弦定理，得.于是，四边形的面积为图1-3-4.因为，所以当时，即时，四边形的面积最大.对于本例，教学中可引导学生分析得到四边形的面积随着的变化而变化.这样将四边形的面积表示成的函数，利用三角形的有界性求出四边形面积的最大值.三、巩固深化，反馈矫正 教材第1，2题四、归纳整理，整体认识由学生总结本节课的内容 五、承上启下，留下悬念 六、板书设计（略）七、课后记：