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33.1函数的单调性与导数预习课本P8993，思考并完成以下问题 1函数的单调性与导数的正负有什么关系？2利用导数判断函数单调性的步骤是什么？3怎样求函数的单调区间？1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)：f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递f(x)0单调递2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大比较“陡峭”(向上或向下)越小比较“平缓”(向上或向下)点睛对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1)若在某区间上有有限个点使f(x)0，在其余的点恒有f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()答案：(1)(2)(3)2函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2)B(0,3)C(1,4) D(2，)答案：D3设f(x)x(x0)，则f(x)的单调递减区间为()A(，2) B(2,0)C(，) D(，0)答案：D4函数f(x)sin x2x在(，)上是_(填“增”或“减”)函数答案：减判断或讨论函数的单调性典例已知函数f(x)ax33x21，讨论函数f(x)的单调性解 由题设知a0.f(x)3ax26x3ax，令f(x)0，得x10，x2.当a0时，若x(，0)，则f(x)0.f(x)在区间(，0)上为增函数若x，则f(x)0，f(x)在区间上是增函数当a0时，若x，则f(x)0.f(x)在区间上为增函数若x(0，)，则f(x)0和f(x)1，即a2时，f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.故实数a的取值范围为5,7法二数形结合法如图所示，f(x)(x1)x(a1)在(1,4)内f(x)0，在(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，另一根在4,6上即5a7.故实数a的取值范围为5,7法三转化为不等式的恒成立问题f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1, 4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立综上知5a7.故实数a的取值范围为5,71利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意(2)先令f(x)0(或f(x)0，当x(1,2)时，(x1)(x2)0，a0得x1或x3；由f(x)0得3x0，a0.答案：(0，)7设函数f(x)ax2ln x.(1)若f(2)0，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)a，且f(2)0，所以a10，所以a.所以f(x)(2x25x2)令f(x)0，解得x或x2；令f(x)0，解得x2，所以f(x)的递增区间为和2，)，递减区间为.(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f(x)0恒成立，因为f(x)a，所以需ax22xa0恒成立，所以解得a1.所以a的取值范围是1，)8已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a1时，证明：当x(1，)时，f(x)20.解：(1)根据题意知，f(x)(x0)，当a0时，则当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)；同理，当af(1)即f(x)2，所以f(x)20.
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