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专题能力训练21不等式选讲一、能力突破训练1.若a0,b0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.2.设函数f(x)=x+1a+|x-a|(a0).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)5,求a的取值范围.3.已知关于x的不等式m-|x-2|1,其解集为0,4.(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.4.已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.二、思维提升训练6.已知函数f(x)=x,x1,1x,0x6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.2.(1)证明 由a0,有f(x)=x+1a+|x-a|x+1a-(x-a)=1a+a2.故f(x)2.(2)解 f(3)=3+1a+|3-a|.当a3时,f(3)=a+,由f(3)5,得3a5+212.当0a3时,f(3)=6-a+1a,由f(3)5,得1+52a3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.3.解 (1)不等式m-|x-2|1可化为|x-2|m-1,1-mx-2m-1,即3-mxm+1.其解集为0,4,3-m=0,m+1=4,m=3.(2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)(a+b)2=a2+b2+2ab(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),a2+b292,当且仅当a=b=32时取等号,a2+b2的最小值为92.(方法二:消元法求二次函数的最值)a+b=3,b=3-a,a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2a-322+9292,a2+b2的最小值为92.4.(1)解 f(x)=-2x,x-12,1,-12x12,2x,x12.当x-12时,由f(x)2得-2x-1;当-12x12时,f(x)2;当x12时,由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(2)证明 由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|1+ab|.5.解 (1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集为xx12.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为0x2a,所以2a1,故00),g(x)|x-1|+b-b|x-1|+|x-2|.|x-1|+|x-2|(x-1)-(x-2)|=1,当且仅当1x2时等号成立.故实数b的取值范围是-1,+).(2)当a=1时,g(x)=1x+x-2,0x2.当0x2x1x-2=0;当x1时,g(x)0,当且仅当x=1时等号成立;故当x=1时,函数y=g(x)取得最小值0.7.解 (1)a=2,f(x)=|x-3|-|x-2|=1,x2,5-2x,2x3,-1,x3,f(x)-12等价于x2,1-12或5-2x-12,2x3或x3,-1-12.解得114x3或x3,不等式的解集为xx114.(2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,若存在实数x,使得不等式f(x)a成立,则|a-3|a,解得a32.实数a的取值范围是-,32.8.解 (1)当a=1时,不等式 f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当x1时,式化为x2+x-40,从而1x-1+172.所以f(x)g(x)的解集为x-1x-1+172.(2)当x-1,1时,g(x)=2.所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等价于当x-1,1时f(x)2.又f(x)在-1,1的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1.所以a的取值范围为-1,1.
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