2019-2020年高三数学第三轮复习 第5部分 数列与极限题型整理分析.doc

2019-2020年高三数学第三轮复习 第5部分 数列与极限题型整理分析35、等差数列中，通项，前项和（为公差，）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：是常数(=常数，也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数有：（）.举例数列满足：.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式.分析：注意是到证明数列是等差数列，则要证明是常数.而，所以.即数列是等差数列.又，则，所以.36、等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n项的积、次n项的积、再后n项的积仍成等比数列.举例1已知数列是等差数列，是其前项的和，则；分析：注意到是等差数列的连续4项的和，它们成等差数列.可以得到，所以.举例2已知数列是等比数列，是其前项的积，则.分析：由成等比，则，所以.37、在等差数列中，若，则；在等比数列中，若，则等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质.举例数列是等比数列，且公比为整数，则的值为.分析：由得或，又此数列的公比为整数，所以公比，则.38、等差数列当首项且公差，前n项和存在最大值.当首项且公差，前n项和存在最小值.求等差数列前项和的最值可以利用不等式组来确定的值；也可以利用等差数列的前项的和是的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解.举例1若是等差数列，首项，则（1）使前项和最大的自然数是；（2）使前项和的最大自然数 ；分析：由条件可以看出，可知最大，则使最大的自然数为xx；由知，所以，则使的最大自然数为4012.举例2在等差数列中，满足且是数列前项的和.若取得最大值，则.分析：首项、公差（比）是解决等差（比）数列的最基本出发点.等差（比）数列的运算多可以通过首项与公差（比）来解决.由知，则.当时，当时，所以.39、数列是等比数列，其前项的和是关于的分段函数，在求和过程中若公比不是具体数值时，则要进行讨论.举例1数列是等比数列，前项和为，且，求的取值范围.分析：注意到等比数列的公比是不为零的常数，前项和存在的前提条件是，且，知，则，有，则.举例2数列是等比数列，首项，公比，求的值.分析：涉及到等比数列的前项和的问题不能直接的应用公式，要考虑到公比的取值情况.当时，此时；当时，则=.40、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若是等差数列，则对于任意自然数有；若是等比数列，则对于任意的自然数，有.在这两关系式中若取，这就是等差（比）数列的通项公式.举例1已知数列是等差数列，首项，且.若此数列的前项和为，问是否存在最值？若存在，为何值？若不存在，说明理由.分析：对于本题来说，等差数列的基本性质用不上，可以化归为首项与公差来解决.设此数列的公差为，则，即，由知，所以数列是递减数列，故有最大值而无最小值.由等差数列的通项公式知：，当时，当时，.所以最大.综上知，当时，最大，不存在最小值.举例2已知正项等比数列中，首项，且.若此数列的前项积为，问是否存在最值？说明理由.分析：与举例1联系起来，这是数列中的“类比”问题.其解决的思想方法是一样的.对于单调正项数列，前项积最大（小），则应满足.设此数列公比为，则，则.由知：时，时，.所以当时，最大，没有最小值.特别注意等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化，这种变化可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭示.我们知道：若数列是正项等比数列，记，则数列是等差数列.反之若数列是等差数列，记，则数列是等比数列.41、已知数列的前项和，求数列的通项公式时，要注意分段.当满足时，才能用一个公式表示.举例已知数列的前项和.若是等差数列，求的通项公式.分析：证明一个数列是等差数列或是等比数列，要从等差、等比数列的定义出发.等差、等比数列的性质不能作为证明的理由.由知，时，当时，.当时，而.若数列是等差数列，则，所以.则.42、形如：+的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如：的递推数列，求通项用连乘（约项）法.举例数列满足，求数列的通项公式.分析：解决这种递推数列的思想方法实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差数列的基本递推关系：，等比数列的递推关系：.由题知：相加得：，又，所以，而满足此式，则.43、一次线性递推关系：数列满足：是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当时，此数列是等差数列，当（时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令化成等比数列求解.举例已知数列满足：，求此数列的通项公式.分析：由得：知数列是等比数列，首项为2，公比为2，所以，知.44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项.举例某企业去年底有资金积累万元，根据预测，从今年开始以后每年的资金积累会在原有的基础上增长20%，但每年底要留出万元作为奖励金奖给职工.企业计划用5年时间使资金积累翻一番，求的最大值.分析：与年数相关的应用题在解答过程中要注意项数与年数之间的关系，在设数列时就要指明.特别注意年底、年初的不同.设从今年开始每年底该企业的资金积累为万元，则（万元），则.所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，.由题知，则，求得：.即的最大值大约为8%.45、常见的极限要记牢：，注意存在与是不相同的；，特别注意此式的结构形式；若是关于的多项式函数，要会求.举例1求下列各式的值：（1）；（2）.分析：对于指数型的分式型极限，一般是分子、分母同除以幂底数绝对值较大的幂，这样可以求出极限.（1）当时，原式；当时，原式.（2）与相关的极限问题要注意其结构形式，注意到括号内是号相连，且分子为1，幂的指数与括号内的分母相同.当形式不同时，要向此转化.举例2若，则；.分析：对于分子分母是关于的整式的分式型极限，若分子的最高的幂指数大于分母的最高的幂指数，则此式极限不存在；当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时，极限是分子、分母的最高次幂的系数比；当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时，极限是零.注意到此式极限为1是存在的，由上分析知，所以.46、理解极限是“无限运动的归宿”.举例已知ABC的顶点分别是，记ABC的外接圆面积为，则.分析：本题若要先求出三角形ABC的面积后再求极限则是“漫长”的工作，注意到当时A、B、C点的变化，不难看出ABC被“压扁”成一条长为4的线段，而此线段就是此三角形外接圆的直径.从而有.