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课时27 抛物线模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4B2C4或4 D12或2【答案】C2设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则等于()A9 B6C4 D3【答案】B【解析】设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)0，x1x2x33.又由抛物线定义知x11x21x316，故选B.3过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条C3条 D4条【答案】C【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)4已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3 C. D.【答案】A【解析】如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为P到F的距离，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d2，故选A.【规律总结】重视定义在解题中的应用,灵活地进行 抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.5设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x【答案】B【解析】由题可知抛物线焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y2(x)，令x0，可得A点坐标为(0，)，所以SOAF4，a8. 6已知抛物线y24x上两个动点B、C和点A(1,2)，且BAC90，则动直线BC必过定点()A(2,5) B(2,5) C(5，2) D(5,2)【答案】C7已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是_【答案】4米【解析】设抛物线方程为x22py，将(4，2)代入方程得162p(2)，解得2p8，故方程为x28y，水面上升米，则y，代入方程，得x2812，x2.故水面宽4米8已知抛物线y24x的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交该抛物线于A、B两点若椭圆C：1(ab0)的右焦点与点F重合，右顶点与A、B构成等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为_【答案】【解析】由y24x得，抛物线的焦点为F(1,0)，过点F且垂直于x轴的直线与该抛物线的交点坐标分别为：A(1,2)，B(1，2)，又椭圆C右焦点的坐标为(1,0)，椭圆右顶点与A，B构成等腰直角三角形，所以椭圆的右顶点坐标为(3,0)，即a3，所以e.9.已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【解析】(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.10在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点【解析】(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y2新题训练 （分值：10分 建议用时：10分钟）11（5分）点P到A(1,0)和直线x1的距离相等，且点P到直线l：yx的距离等于，则这样的点P的个数为_ 【答案】3【解析】由抛物线定义，知点P的轨迹为抛物线，其方程为y24x，设点P的坐标为，由点到直线的距离公式，知，即y4y040，易知y0有三个解，故点P个数有三个12（5分）已知点M是抛物线y24x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x4)2(y1)21上，则|MA|MF|的最小值为_【答案】4【解析】依题意得|MA|MF|(|MC|1)|MF|(|MC|MF|)1，由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x1的距离，结合图形不难得知，|MC|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.
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