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大题分层练(三)三角、数列、概率统计、立体几何(C组)1.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-b)cos C=ccos B.(1)求角C的大小.(2)若c=2,ABC的面积为3,求该三角形的周长.【解析】(1)在ABC中,由正弦定理知asinA=bsinB=csinC=2R,又因为(2a-b)cos C=ccos B,所以2sin Acos C=sin Bcos C+cos Bsin C,即2sin Acos C=sin A.因为0A0,所以cos C=12.又0CN时,总有Sn-1212 018,若存在,求出N的最小值,否则,说明理由.【解析】(1)nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同时除以n(n+1),得an+1n+1-ann=2(nN*),所以数列ann是首项为4,公差为2的等差数列.(2)由(1)得ann=2n+2,所以an=2n2+2n,故1an=12n2+2n=12(n+1)-nn(n+1)=121n-1n+1,所以Sn=121-12+12-13+1n-1n+1=121-1n+1.所以由不等式Sn-12=12(n+1)1 008,所以存在N1 008,使得当nN时,总有Sn-1212 018,所以N的最小值为1 008.3.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出1盒该产品获利润30元,未售出的产品,每盒亏损10元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了160盒该产品,以x(单位:盒,100x200)表示这个开学季内的市场需求量,y(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数.(2)将y表示为x的函数.(3)根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率.【解析】(1)由频率分布直方图得:需求量为100,120)的频率=0.00520=0.1,需求量为120,140)的频率=0.0120=0.2,需求量为140,160)的频率=0.01520=0.3,需求量为160,180)的频率=0.012 520=0.25,需求量为180,200的频率=0.007 520=0.15.则平均数x=1100.1+1300.2+1500.3+1700.25+1900.15=153.(2)因为每售出1盒该产品获利润30元,未售出的产品,每盒亏损10元,所以当100x160时,y=30x-10(160-x)=40x-1 600;当160x200时,y=16030=4 800,所以y=40x-1 600,100x160,4 800,160x200,(3)因为利润不少于4 000元,所以40x-16004 000,解得x140.所以由(1)知利润不少于4 000元的概率P=1-0.3=0.7.4.如图,PA平面ABCD,矩形ABCD的边长AB=1,BC=2,E为BC的中点.(1)证明:PEDE.(2)如果异面直线AE与PD所成的角的大小为3,求PA的长及点A到平面PED的距离.【解析】(1)连接AE,由AB=BE=1,得AE=2,同理得,DE=2,AE2+DE2=4=AD2,由勾股定理得AED=90,DEAE,因为PA平面ABCD,所以PADE.又因为PAAE=A,所以DE平面PAE,所以PEDE.(2)取PA的中点M,AD的中点N,连接MC,NC,MN,AC.所以NCAE,MNPD,所以MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小,即MNC=23或3(或者由观察可知,MNC=23,不需分类讨论).设PA=x,则NC=2,MN=1+x24,MC=5+x24.若MNC=23,由cosMNC=1+x24+2-5-x2421+x242=-12,得PA=2.所以VA-PDE=VP-DAE=1312222=23.在RtPED中,PE=6,DE=2,所以SPED=1226=3.所以点A到平面PED的距离为2333=233.若MNC=3,由cosMNC=1+x24+2-5-x2421+x242=12,显然不适合题意.综上所述,PA=2,点A到平面PED的距离为233.
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