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课堂达标(二十七) 等差数列及其前n项和A基础巩固练1等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为()A1B2C3D4解析法一：设等差数列an的公差为d，由题意得解得d2.法二：在等差数列an中，a1a52a310，a35.又a47，公差d752.答案B2(2018宁夏银川市二模试卷)在等差数列an中，已知a45，a3是a2和a6的等比中项，则数列an的前5项的和为()A15 B20 C25 D15或25解析在等差数列an中，a45，a3是a2和a6的等比中项，解得a11，d2，数列an的前5项的和为：S55a1d5(1)5415.故选：A.答案A3(2018山师大附中高三三模)等比数列an的前n项和为Sn，已知a2a52a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于()A29 B31 C33 D36解析法一：设等比数列an的首项为a1，公比为q，由题意知，解得，所以S531，故选B.法二：由a2a52a3，得a42.又a42a7，所以a7，所以q，所以a116，所以S531，故选B.答案B4(2016浙江卷)已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()Aa1d0，dS40 Ba1d0，dS40，dS40 Da1d0解析a3，a4，a8成等比数列，aa3a8，(a13d)2(a12d)(a17d)，展开整理，得3a1d5d2，即a1dd2.d0，a1d0.Snna1d，S44a16d，dS44a1d6d2d20，a10a110，a10a110，得d0，a11a2a100a11a12a18，所以T18|a1|a2|a10|a11|a12|a18|a1a2a10(a11a12a18)2S10S182361260.答案C2(2016浙江卷)如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*，(PQ表示点P与Q不重合)若dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则()ASn是等差数列 BS是等差数列Cdn是等差数列 Dd是等差数列解析Sn表示点An到对面直线的距离(设为hn)乘以|BnBn1|长度一半，即Sn hn|BnBn1|，由题目中条件可知|BnBn1|的长度为定值，那么我们需要知道hn的关系式，过A1作垂直得到初始距离h1，那么A1，An和两个垂足构成了直角梯形，那么hnh1|A1An|sin ，其中为两条线的夹角，即为定值，那么Sn(h1|A1An|sin )|BnBn1|，Sn1(|h1A1An1|sin )|BnBn1|，作差后：Sn1Sn (|AnAn1|sin)|BnBn1|，都为定值，所以Sn1Sn为定值故选A.答案A3设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_解析an，bn为等差数列，.，.答案4(2018湖南省常德市一模)已知数列an中，a10，an1(nN*)，数列bn满足：bnnan(nN*)，设Sn为数列bn的前n项和，当n7时Sn有最小值，则a1的取值范围是_解析数列an中，a10，an1(nN*)，3，数列是等差数列，公差为3.3(n1)解得an.bnnan，设Sn为数列bn的前n项和，当n7时Sn有最小值，b70，b80.0，0，解得a1k)总成立，则称数列an是“P(k)数列”(1)证明：等差数列an是“P(3)数列”；(2)若数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列证明(1)因为an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，从而，当n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列”(2)数列an即是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n3时，an2an1an1an24an，当n4时，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an)，将代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差数列，设其公差为d.在中，取n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d，在中，取n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a22d，所以数列an是等差数列C尖子生专练(2017北京)设an和bn是两个等差数列，记cnmaxb1a1n，b2a2n，bnann(n1,2,3，)，其中maxx1，x2，xS表示x1，x2，xS这S个数中最大的数(1)若ann，bn2n1，求c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，M；或者存在正整数m，使得cm，cm1，cm2，是等差数列解析(1)c1b1a1110.c2maxb12a1，b22a2max121,3221，c3maxb13a1，b23a2，b33a3max131,332,5332.当n3时，(bk1nak1)(bknak)(bk1bk)n(ak1ak)2n0时，取正整数m，则当nm时，nd1d2，因此cnb1a1n.此时，cm，cm1，cm2，是等差数列当a10时，对任意n1，cnb1a1n(n1)maxd2,0b1a1(n1)(maxd2,0a1)此时，c1，c2，c3，cn，是等差数列当d1时，有nd1max，故当时，M.
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