2020版高中数学 第二章 数列 专题突破四 数列求和学案（含解析）新人教B版必修5.docx

专题突破四数列求和学习目标1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法知识点一分组分解求和法思考求和：123.答案123(123n)1.总结分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和知识点二奇偶并项求和法思考求和122232429921002.答案122232429921002(1222)(3242)(9921002)(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5050.总结奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论知识点三裂项相消求和法思考我们知道，试用此公式求和：.答案由得11.总结如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项裂项相消求和常用公式：(1)()；(2)()；(3)()；(4)知识点四错位相减求和法思考记bnn2n，求数列bn的前n项和Sn.答案Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n+1，得Sn212223242nn2n+12(n1)2n+1.Sn2(n1)2n+1，nN.总结错位相减法主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和利用“错位相减法”时，先写出Sn与qSn的表达式，再将两式对齐作差，正确写出(1q)Sn的表达式；(利用此法时要注意讨论公比q是否等于1)1并项求和一定是相邻两项结合()2裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消()题型一分组分解求和例1求和：Sn222(x0)解当x1时，Sn222(x2x4x2n)2n2n2n；当x1时，Sn4n.综上知，Sn反思感悟某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和跟踪训练1已知正项等比数列an中，a1a26，a3a424.(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn满足bnlog2an，求数列anbn的前n项和解(1)设数列an的公比为q(q0)，则解得ana1qn-122n-12n.(2)bnlog22nn，设anbn的前n项和为Sn，则Sn(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)(2222n)(12n)2n+12n2n.题型二裂项相消求和例2求和：，n2，nN.解，原式(n2，nN)引申探究求和：，n2，nN.解1，原式(n1)以下同例2解法反思感悟求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为f(n1)f(n)的形式，常采用裂项求和法跟踪训练2求和：1，nN.解an2，Sn2.题型三奇偶并项求和例3求和：Sn1357(1)n(2n1)解当n为奇数时，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2(2n1)n.当n为偶数时，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2n.Sn(1)nn (nN)反思感悟通项中含有(1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和跟踪训练3已知数列1,4，7,10，(1)n(3n2)，求其前n项和Sn.解当n为偶数时，令n2k(kN)，SnS2k14710(1)n(3n2)(14)(710)(6k5)(6k2)3kn；当n为奇数时，令n2k1(kN)，SnS2k1S2ka2k3k(6k2)23k.Sn题型四错位相减求和例4(2018佛山检测)已知数列an的前n项和为Sn，且满足an3Sn2(nN)(1)求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和Tn.解(1)当n1时，a13S123a12，解得a11.当n2时，an3Sn2，an13Sn12，两式相减得anan13an，化简得anan1，所以数列an是首项为1，公比为的等比数列，所以ann-1，nN.(2)由(1)可得nannn-1.Tn102132nn-1，Tn1122(n1)n-1nn，两式相减得Tn112n-1nnnnn.所以数列nan的前n项和Tnn.反思感悟用错位相减要“能识别，按步走，慎化简”跟踪训练4已知数列an的通项公式为an3n-1，在等差数列bn中，bn0，且b1b2b315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列(1)求数列anbn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)an3n1，a11，a23，a39.在等差数列bn中，b1b2b315，3b215，则b25.设等差数列bn的公差为d，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，(15d)(95d)64，解得d10或d2.bn0，d10应舍去，d2，b13，bn2n1.故anbn(2n1)3n-1，nN.(2)由(1)知Tn3153732(2n1)3n-2(2n1)3n-1，3Tn33532733(2n1)3n-1(2n1)3n，得2Tn312323223323n-1(2n1)3n32(332333n1)(2n1)3n32(2n1)3n3n(2n1)3n2n3n.Tnn3n，nN.1数列12n-1的前n项和为_答案Snn2n1，nN解析an12n-1，Snnn2n1.2数列的前2018项和为_答案解析因为2，所以S201822.3已知数列an则S100_.答案5000解析由题意得S100a1a2a99a100(a1a3a5a99)(a2a4a100)(02498)(246100)5000.4在数列an中，a11，an12an2n，nN.(1)设bn，证明：数列bn是等差数列；(2)在(1)的条件下求数列an的前n项和Sn.(1)证明由已知an12an2n，得bn11bn1.bn1bn1，又b1a11.bn是首项为1，公差为1的等差数列(2)解由(1)知，bnn，bnn.ann2n-1.Sn1221322n2n-1，两边同时乘以2得2Sn121222(n1)2n-1n2n，两式相减得Sn121222n-1n2n2n1n2n(1n)2n1，Sn(n1)2n1.求数列的前n项和，一般有下列几种方法1错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和2分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列3裂项相消有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和4奇偶并项当数列通项中出现(1)n或(1)n+1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论5倒序相加例如，等差数列前n项和公式的推导方法一、选择题1数列2，4，6，的前n项和Sn为()An21Bn22Cn(n1)Dn(n1)答案C2已知数列an的前n项和为Sn，若an，Sn10，则n等于()A90B119C120D121答案C解析an，Sn(1)()()110，n1121，故n120.3数列，的前n项和为()A.B.C.D.答案B解析由数列通项公式，得前n项和Sn().4已知数列an的通项an2n1，nN，由bn所确定的数列bn的前n项的和是()A.n(n2) B.n(n4)C.n(n5) D.n(n7)答案C解析a1a2an(2n4)n22n.bnn2，bn的前n项和Sn.5如果一个数列an满足anan1H (H为常数，nN)，则称数列an为等和数列，H为公和，Sn是其前n项的和，已知等和数列an中，a11，H3，则S2019等于()A3016B3015C3026D3013答案C解析S2019a1(a2a3a2019)a11009H11009(3)3026.6在数列an中，a12，an1anln，nN，则an等于()A2lnnB2(n1)lnnC2nlnnD1nlnn答案A解析an1anln，an1anlnlnln(n1)lnn.又a12，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln(n1)2lnnln12lnn.二、填空题7若Sn1234(1)n1n，nN，则S50_.答案25解析S5012344950(1)2525.8在数列an中，已知Sn159131721(1)n1(4n3)，nN，则S15S22S31的值是_答案76解析S1547a15285729，S2241144，S31415a316012161，S15S22S3129446176.三、解答题9已知函数f(x)2x3x1，点(n，an)在f(x)的图象上，数列an的前n项和为Sn，求Sn.解由题得an2n3n1，Sna1a2an(2222n)3(123n)n3n2n12.10已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.因为a37，a5a726，所以解得所以an32(n1)2n1，Sn3n2n22n.所以an2n1，Snn22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn，所以Tn(1)(1)，即数列bn的前n项和Tn.11设数列an满足a12，an1an322n1，nN.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由已知，得当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222n1，an22n1，而a12，符合上式，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1，从而22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n1212已知等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求数列an和bn的通项公式(2)令cn设数列cn的前n项和为Tn，求T2n.解(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由b2S210，a52b2a3，得解得所以an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，则n为奇数时，cn.n为偶数时，cn2n1，所以T2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)