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2.4正态分布学习目标1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(，(2，2，(3，3的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题知识点一正态曲线思考函数f(x)，xR的图象如图所示试确定函数f(x)的解析式答案由图可知，该曲线关于直线x72对称，最大值为，由函数表达式可知，函数图象的对称轴为x，72，且，10.f(x)(xR)梳理(1)正态曲线函数，(x)，x(，)，其中实数，(0)为参数，我们称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：知识点二正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(，2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2)知识点三3原则1正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(1)P(X)0.682 6；(2)P(2X2)0.954 4；(3)P(3X3)0.997 4.2通常服从正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值1函数，(x)中参数，的意义分别是样本的均值与方差()2正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的()3正态曲线可以关于y轴对称()类型一正态曲线的图象的应用例1如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差解从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x20对称，最大值是，所以20.由，解得.于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)，x(，)，随机变量总体的均值是20，方差是2()22.反思与感悟利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数，便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式跟踪训练1某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是()A甲科总体的标准差最小B丙科总体的平均数最小C乙科总体的标准差及平均数都居中D甲、乙、丙的总体的平均数不相同考点正态分布密度函数的概念题点正态曲线答案A解析由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙故选A.类型二利用正态分布的对称性求概率例2设XN(1,22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(35)考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算解因为XN(1,22)，所以1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 6.(2)因为P(3X5)P(3X1)，所以P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(5)P(X3)1P(3X5)1P(14c1)P(Xc1)P(Xc1)，因此1，即c1.反思与感悟利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x对称的，且概率的和为1，故关于直线x对称的区间上概率相等如：P(Xa)1P(Xa)P(Xa)(2)“3”法：利用X落在区间(，(2，2，(3，3内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解跟踪训练2已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)等于()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案C解析随机变量服从正态分布N(2，2)，2，对称轴是x2.P(4)0.8，P(4)P(0)0.2，P(04)0.6，P(00)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12 B12C12，12，12考点正态分布密度函数的概念题点正态曲线答案A解析根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线x对称，在x处取得最大值的连续曲线：当一定时，越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭故选A.2正态分布N(0,1)在区间(2，1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为()AP1P2 BP1P2CP1P2 D不确定考点正态分布密度函数的概念题点正态曲线性质的应用答案A解析根据正态曲线的特点，图象关于x0对称，可得在区间(2，1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等3设随机变量服从正态分布N(，2)，且二次方程x24x0无实数根的概率为，则等于()A1 B2C4 D不能确定考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差答案C解析因为方程x24x0无实数根的概率为，由1644，即P(4)1P(4)，故P(4)，所以4.4已知服从正态分布N(，2)的随机变量在区间(，(2，2和(3，3内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120内的学生大约有()A997人 B972人 C954人 D683人考点正态分布的应用题点正态分布的实际应用答案C解析依题意可知90，15，故P(60X120)P(90215c1)P(Xc1)(1)求c的值；(2)求P(4Xc1)P(Xc1)，故有2(c1)(c1)2，c2.(2)P(4X8)P(223X223)0.954 4.1理解正态分布的概念和正态曲线的性质2正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)，若b，则P(X0)，P(4)0.84，则P(0)等于()A0.16 B0.32C0.68 D0.84考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案A解析随机变量服从正态分布N(2，2)，2，P(4)0.84，P(4)10.840.16，P(0)P(4)0.16.3已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%)A4.56% B13.59%C27.18% D31.74%考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案B解析由正态分布的概率公式，知P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故P(3P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)考点正态分布密度函数的概念题点正态曲线答案C解析由题图可知102，12，P(Y2)P(X1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(Xt)P(Yt)，而P(Xt)1P(Xt)，P(Yt)1P(Yt)，P(Xt)P(Yt)，故C正确，D错6如果正态总体的数据落在(3，1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值是()A0 B1 C2 D3考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差答案B解析正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(3，1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的因为正态曲线关于直线x对称，的概率意义就是均值，而区间(3，1)和(3,5)关于x1对称，所以正态总体的均值是1.7已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩XN(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在区间()A(90,110 B(95,125C(100,120 D(105,115考点正态分布的应用题点正态分布的实际应用答案C解析XN(110,52)，110，5.因此考试成绩在区间(105,115，(100,120，(95,125上的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人参加考试，故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是600.682 641,600.954 457,600.997 460.8在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)已知参加本次考试的全市理科学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()A1 500名 B1 700名C4 500名 D8 000名考点正态分布的应用题点正态分布的实际应用答案A解析因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，所以P(X108)1P(88X108)1P(X)(10.682 6)0.158 7，所以0.158 79 4501 500，故该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名二、填空题9已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X1)0.5，则实数a的值为 考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差答案1解析X服从正态分布N(a,4)，正态曲线关于直线xa对称，又P(X1)0.5，故a1.10设随机变量XN(4，2)，且P(4X8)0.3，则P(X0) .考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案0.2解析概率密度曲线关于直线x4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于8右边的概率，即0.50.30.2.11某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间(0,2内的概率为 考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案0.477 2解析正态分布密度函数是f(x)，x(，)，若它是偶函数，则0，f(x)的最大值为f()，1，P(0X2)P(2X2)P(2X2)0.954 40.477 2.三、解答题12已知随机变量XN(，2)，且其正态曲线在(，80)上是增函数，在(80，)上为减函数，且P(72X88)0.682 6.(1)求参数，的值；(2)求P(64X72)考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差解(1)由于正态曲线在(，80)上是增函数，在(80，)上是减函数，所以正态曲线关于直线x80对称，即参数80.又P(72X88)0.682 6.结合P(X)0.682 6，可知8.(2)因为P(2X2)P(6496)，所以P(X64)(10.954 4)0.045 60.022 8.所以P(X64)0.977 2.又P(X72)1P(7272)0.841 3，P(6464)P(X72)0.135 9.13某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从正态分布N(6,0.16)若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？考点正态分布的应用题点正态分布的实际应用解还有7分钟时：若选第一条路线，即XN(5,1)，能及时到达的概率P1P(X7)P(X5)P(5X7)P(2X2)若选第二条路线，即XN(6,0.16)，能及时到达的概率P2P(X7)P(X6)P(6X7)P(2.5X2.5)因为P1P2，所以应选第二条路线同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线四、探究与拓展14为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为 考点正态分布的应用题点正态分布的实际应用答案683解析依题意可知，60.5，2，故P(58.5X62.5)P(X)0.682 6，从而属于正常情况的人数为1 0000.682 6683.15从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2的产品件数，利用的结果，求E(X)(附：12.2)考点正态分布的应用题点正态分布的综合应用解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2的概率为0.682 6，依题意知XB(100,0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.
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