2018-2019学年高二数学上学期期中试题文 (III).doc

2018-2019学年高二数学上学期期中试题文 (III) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题，，则（　　） Ａ．， Ｂ．， Ｃ．， Ｄ．， 2. 设四边形的两条对角线为,，则“”是“四边形为菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.双曲线的焦点坐标是( ) A. B. C. D. 4．在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ） A．30 B．45 C．60 D． 90 5.已知一个圆柱底面半径为2，体积为，则此圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 6.已知且与互相垂直，则的值是（ ） A. .1 B. C. D. 7. 关于空间两条直线、和平面，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8.已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，则与相等的向量是（ ） A. . B. . C. . D. . 9.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 10．已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 11椭圆＋=1上一点M到左焦点的距离为2，N是M的中点，则2 等于 （ ） A. 3 B. 4 C. 8 D.16 12．已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 共20分 13.命题“”为假命题，则实数a的取值区间为 14.已知点在双曲线：上，的焦距为6，则它的离心率为__________． 15．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是______ 16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论： ①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60的角；④AB与CD所成的角为60.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)． 三、解答题：本大题共6小题， 共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分） 已知命题关于的方程有实数根 命题方程表示双曲线 （1）若是真命题，求的取值范围。 （2）若命题是真命题，求的取值范围。 18. （本小题满分12分） 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，短轴长为8。 （1）求的方程 （2）是椭圆上位于第一象限内的一点，且,求的面积。 19. （本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为， 求证：(1) (2) 20．（本小题满分12分） 已知四棱锥的底面为菱形，且 为AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 21. （本小题满分12分） 在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于两点． （1） 写出的方程； （2） 若，求的值； 22. （本小题满分12分） 设，分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过 的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若直线的斜率为1，求b的值． 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C B A C A D D A B C C A 二、填空题 13 14. 3 15. 16. （1）（2）（4） 17 18 19证明：（1）由题意知，为的中点， 又为的中点，因此． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为棱柱是直三棱柱， 所以平面． 因为平面，所以． 又因为，平面，平面，， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为，所以矩形是正方形，因此． 因为，平面，，所以平面． 20． (Ⅰ)连接CO. ∵，∴△AEB为等腰直角三角形． ∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1. 又∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60， ∴△ACB是等边三角形， ∴CO＝. 又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO. 又CO⊂平面ABCD，EO平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD. (Ⅱ)设点D到平面AEC的距离为h. ∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S△AEC＝. ∵S△ADC＝，E到平面ACB的距离EO＝1，VD－AEC＝VE－ADC， ∴S△AECh＝S△ADCEO，∴h＝， ∴点D到平面AEC的距离为. 21（1）（2） 解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆， 其中，所以b2=a2﹣c2==1． 故轨迹C的方程为：； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2） 由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0 由△=16k2+48＞0，可得：， 再由， 即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0， 所以，． 考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系． 22．（1）；（2） (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝. (2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组消去y，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.  参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C B A C A D D A B C C A 二、填空题 13 14. 3 15. 16. （1）（2）（4） 17 18 19证明：（1）由题意知，为的中点， 又为的中点，因此． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为棱柱是直三棱柱， 所以平面． 因为平面，所以． 又因为，平面，平面，， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为，所以矩形是正方形，因此． 因为，平面，，所以平面． 20． (Ⅰ)连接CO. ∵，∴△AEB为等腰直角三角形． ∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1. 又∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60， ∴△ACB是等边三角形， ∴CO＝. 又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO. 又CO⊂平面ABCD，EO平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD. (Ⅱ)设点D到平面AEC的距离为h. ∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S△AEC＝. ∵S△ADC＝，E到平面ACB的距离EO＝1，VD－AEC＝VE－ADC， ∴S△AECh＝S△ADCEO，∴h＝， ∴点D到平面AEC的距离为. 21（1）（2） 解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆， 其中，所以b2=a2﹣c2==1． 故轨迹C的方程为：； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2） 由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0 由△=16k2+48＞0，可得：， 再由， 即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0， 所以，． 考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系． 22．（1）；（2） (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝. (2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组消去y，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.