2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 9 三角函数的简单应用学案 北师大版必修4.doc

9三角函数的简单应用学习目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案三角函数模型.梳理(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：收集、整理数据，建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.(2)三角函数模型的建立程序如图所示：类型一三角函数模型在物理中的应用例1已知电流I与时间t的关系为IAsin(t).(1)如图所示的是IAsin(t)在一个周期内的图像，根据图中数据求IAsin(t)的解析式；(2)如果t在任意一段的时间内，电流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？考点三角函数模型在物理中的应用题点三角函数模型在物理中的应用解(1)由图可知A300，设t1，t2，则周期T2(t2t1)2.150.又当t时，I0，即sin0，而|0)，300942，又N，故所求最小正整数943.反思与感悟此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S6sin.(1)画出它的图像；(2)回答以下问题：小球开始摆动(即t0)，离开平衡位置是多少？小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？小球来回摆动一次需要多少时间？考点三角函数在物理中的应用题点三角函数在物理中的应用解(1)周期T1(s).列表：t012t226sin360603描点画图：(2)小球开始摆动(即t0)，离开平衡位置为3 cm.小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.小球来回摆动一次需要1 s(即周期).类型二三角函数模型在生活中的应用例2如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？考点三角函数模型的应用题点三角函数在日常生活中的应用解(1)由已知可设y40.540cos t，t0，由周期为12分钟可知，当t6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6，即，所以y40.540cos t(t0).(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米.由60.540.540cos t0，得cos t0，所以t0或t0，解得t04或t08，所以t8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12820(分钟).反思与感悟解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.考点三角函数模型在生活中的应用题点三角函数模型在生活中的应用解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为 t t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h10sin t12(t0).(2)由10sin t1217，得sin t，则25t125.故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m.1.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l cm.考点三角函数模型在物理中的应用题点三角函数模型在物理中的应用答案解析T1，2，l.2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1，2，3，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28，12月份的月平均气温最低，为18，则10月份的平均气温为 .考点三角函数模型在生活中的应用题点三角函数模型在生活中的应用答案20.5解析由题意可知A5，a23，从而y5cos23.故10月份的平均气温值为y5cos2320.5.3.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天024时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为 .考点三角函数模型的应用题点三角函数在航海、气象学中的应用答案h6sin t，t0，24解析根据题图设hAsin(t)，则A6，T12，12，.点(6，0)为“五点”作图法中的第一点，60，h6sin6sin t，t0，24.4.某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)102sin，t0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？考点三角函数模型在生活中的应用题点三角函数模型在生活中的应用解(1)因为f(t)102sin，又0t24，所以t11时实验室需要降温.由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.又0t24，因此t，即10t18.故在10时至18时实验室需要降温.1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.(3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.一、选择题1.如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是()A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零考点三角函数模型在物理中的应用题点三角函数模型在物理中的应用答案D解析该质点的振动周期为T2(0.70.3)0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，故C是错误的.故选D.2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)b 的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A.f(x)2sin7(1x12，xN)B.f(x)9sin(1x12，xN)C.f(x)2sinx7(1x12，xN)D.f(x)2sin7(1x12，xN)考点三角函数模型在生活中的应用题点三角函数模型在生活中的应用答案A解析令x3可排除D，令x7可排除B，由A2可排除C.或由题意，可得A2，b7，周期T2(73)8，.f(x)2sin7.当x3时，f(x)9，2sin79，即sin1.|，.f(x)2sin7(1x12，xN).3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)504sin(t0)，则人流量是增加的时间段为()A.0，5 B.5，10C.10，15 D.15，20考点三角函数模型在生活中的应用题点三角函数模型在生活中的应用答案C解析由2k2k，kZ知，函数F(t)的增区间为4k，4k，kZ.当k1时，t3，5，而10，153，5，故选C.4.如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系yAsin(x)2，则有()A.，A3 B.，A3C.，A5 D.，A5考点三角函数模型在生活中的应用题点三角函数模型在生活中的应用答案A解析由题意可知最大值为5，所以5A12A3.T15 s，则.故选A.5.如图所示为2018年某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线，其近似满足函数yAsin(x)b的半个周期的图像，则该天8 h的温度大约为()A.16 B.15 C.14 D.13 考点三角函数模型的应用题点三角函数在航海、气象学中的应用答案D解析由题意得A(3010)10，b(3010)20，2(146)16，16，y10sin20，将x6，y10代入得10sin2010，即sin1，由于0，0)的图像如图所示，则当t秒时，电流强度是 安.考点三角函数在物理中的应用题点三角函数在物理中的应用答案5三、解答题12.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？考点三角函数模型在生活中的应用题点三角函数模型在生活中的应用解(1)如图所示建立平面直角坐标系，设角是以Ox为始边，OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为，则OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动，得z4sin2.当t0时，z0，得sin ，即.故所求的函数关系式为z4sin2.(2)令z4sin26，得sin1，令t，得t20，故点P第一次到达最高点大约需要20 s.四、探究与拓展13.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m(即OM长)，巨轮的半径长为30 m，AMBP2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m，则h(t)等于()A.30sin30 B.30sin30C.30sin32 D.30sin考点三角函数模型在生活中的应用题点三角函数模型在生活中的应用答案B解析过点O作地面的平行线作为x轴，过点O作x轴的垂线，作为y轴，过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点，如图，点A在圆O上逆时针运动的角速度是，所以t分钟转过的弧度数为t.设t，当时，BON，hOABN3030sin，当0时，上述关系式也适合.故h3030sin30sin30.14.(2017福建龙岩一中高一月考)某海滨浴场一天的海浪高度y(m)是时间t(0t24)(h)的函数，记作yf(t)，下表是某天各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系；(2)依据规定，当海浪高度不小于1 m时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的8 h至20 h之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？考点三角函数模型的应用题点三角函数在航海、气象学中的应用解(1)以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：依据散点图，可以选用函数yAsin(t)h来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系.从表中数据和散点图，可知A，T12，所以12，得.又h1，于是ysin1.由图，知02k，kZ，又|，所以，从而ysin1，即ycos t1(0t24).(2)由题意，可知y1，所以cos t11，即cos t0，所以2kt2k(kZ)，即12k3t12k3(kZ).又0t24，所以0t3或9t15或21t24.故一天内的8 h至20 h之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即9 h至15 h.