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2.2.1 第二课时 圆的一般方程 学业水平训练1已知圆C：x2y22x2y30，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为_解析：由x2y22x2y30得，(x1)2(y1)25，所以圆心C(1，1)设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得，解得，所以点B的坐标为(2，3)答案：(2，3)2过点P(1,2)的直线l平分圆C：x2y24x6y10的周长，则直线l的斜率为_解析：过点P(1,2)的直线l平分圆C的周长，则直线l过圆心(2，3)，则直线l的斜率为k.答案：3点M，N在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的面积是_解析：将x2y2kx2y40化为(x)2(y1)25，故圆心坐标是(，1)，由题意知，直线xy10过圆心，故110，解得k4，此时圆的半径为3，圆的面积是9.答案：94点A(1,0)在圆x2y22axa23a30上，则a的值为_解析：点A在圆上，a应满足的条件为，即，解得，a2.答案：25如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆面积最大时，圆心的坐标是_解析：将x2y2kx2yk20化为(x)2(y1)21k2，可知当k0时，圆的半径最大，即圆面积最大，此时圆心坐标是(0，1)答案：(0，1)6已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_解析：点(3,5)在圆内，最长弦AC即为该圆直径，AC10，最短弦BDAC，BD4，S四边形ABCDACBD20.答案：207试判断A(1,2)，B(0,1)，C(7，6)，D(4,3)四点是否在同一个圆上解：线段AB，BC的斜率分别是kAB1，kBC1，得kABkBC，则A，B，C三点不共线，设过A，B，C三点的圆的方程为x2y2DxEyF0.因为A，B，C三点在此圆上，所以，解得，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2y28x4y50，将D点坐标(4,3)代入方程，得4232844350，即点D在此圆上，故A，B，C，D四点在同一个圆上8一圆经过A(4,2)和B(1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2，求该圆的方程解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，令y0，得x2DxF0，所以圆在x轴上的截距之和为x1x2D.同理圆在y轴上的截距之和为y1y2E，由题意知DE2.又A，B在圆上，所以1644D2EF0，19D3EF0，由联立方程组解得D2，E0，F12.所以，所求圆的方程为x2y22x120.高考水平训练1设A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线且PA1，则P点的坐标(x，y)满足的方程是_解析：由题意知，圆心(1,0)到P点的距离为，所以点P在以(1,0)为圆心，以为半径的圆上，所以点P的坐标(x，y)满足的方程是(x1)2y22.答案：(x1)2y222已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(0，1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令dPA2PB2，则d的最大值及最小值分别为_、_.解析：如图，设P点坐标为(x0，y0)，dx(y01)2x(y01)22(xy)22PO22.问题转化为求P点到原点O距离的最值，O在圆外，OPmaxCO1516，POminCO1514.dmax262274，dmin242234.答案：74343已知曲线C：(1a)x2(1a)y24x8ay0，(1)当a取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值解：(1)当a1时，方程为x2y0，表示一条直线；当a1时，22表示圆(2)证明：方程变形为x2y24xa(x2y28y)0.对于a取任何值，上式成立，则有解得或C过定点A(0,0)，B.(3)由(2)曲线C过定点A、B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小(其余不以AB为直径的圆，AB为弦，直径大于AB的长，圆的面积也大)，从而得以AB为直径圆的方程：22，解得a.4在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论解：(1)令x0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)；令f(x)x22xb0，由题意知b0且0，解得b1且b0.(2)设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，令y0得x2DxF0，这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb.令x0得y2Eyb0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1.所以圆C的方程为x2y22x(b1)yb0.(3)圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0与b无关)，将该点代入圆C的方程，并变形为xy2x0y0b(1y0)0(*)，为使(*)式对所有满足b1且b0的b都成立，只需1y00，结合(*)式得xy2x0y00，解得或.经检验知，点(0,1)，(2,1)均在圆C上，因此圆C过定点
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