2019-2020年人教A版高中数学必修五第三章3-4-2 基本不等式 （第2课时）《教案》.doc

2019-2020年人教A版高中数学必修五第三章3-4-2 基本不等式 （第2课时）教案一、教学目标知识与技能1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.过程与方法1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.二、教学重点与难点:重点：1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱. 难点：1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.三、教学模式与教法教学模式 ：根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教具准备 投影仪、胶片、三角板、刻度尺四、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识一、创设情景， 提出问题;前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用.通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是a0、b0.在应用的过程中，我们对基本不等式的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.让学生明确学习任务由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。二、分析问题，解决问题师 已知，若ab为常数k，那么a+b的值如何变化？师 若ab为常数s，那么ab的值如何变化？师 同学们回答得非常好，对变量与定量理解的很清楚.由上面的研究可知，解决有关最值问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.(此时，老师用投影仪给出本节课的第一组问题)1.最值练习：解答下列各题：()求函数y2x2（x0）的最小值.()求函数yx2（x0）的最小值.()求函数y3x22x3（0x）的最大值.()求函数yx（1x2）（0x1）的最大值.()设a0，b0，且a21，求的最大值.引导学生总结运用基本不等式的解题步骤和方法生1； 当且仅当ab时，ab就有最小值为2k.生2.当且仅当ab时，ab就有最大值（或ab有最大值）.。让学生感受数学概念的出现是自然的引出目标函数的概念，顺而引出约束条件、可行域、可行解、最优解、简单的线性规划问题等相关概念 培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。三、典例分析：师 我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值. 解：(1)x0,2x20，0.y2x22x 2.当且仅当2x 2，即时等号成立.故当时，y有最小值.(2) ，当且仅当，即x时，等号成立. 故当x时，y有最小值.(3)0x,32x0.yx2（32x）xx（32x）（）31.当且仅当x32x,即x1时，等号成立.(4)0x1,1x20.y 2x 2（1x 2）22x 2（1x2）（1x2） ()3.当且仅当2x21x 2,即时，等号成立.当时，y 2有最大值.由题意可知y0，故当时，y有最大值.(5)a0，b0，且a 21， (a2+ +)=,当且仅当,即，时取“”.故当，时，a1+b2有最大值.师 若不考虑等号成立的条件，最值是否一定取到呢？生 不一定.应当考虑等号成立的条件.师 用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考察下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；()函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；()函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.请同学们看下面几例的解法.若对，请说明理由；若不对，请改正.引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化理解。留五分钟的时间让学生思考，合作交流，此处留的时间可以更长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生.老师根据学生的思考情况作个别交流）根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再一次作点评）（学生对等号成立的条件往往没有详细说明）课堂练习 )yx2，y的最小值为2.师 这位同学回答得非常好.请你说得再详细一点，让大家都能清楚.（此时，这位同学的学习热情很浓，探究问题的兴趣很强）师 很好.请坐下.感谢你为大家讲解.)y3x22x2x 2，y的最小值为.师 很好.(3)yx（1xx 2）2（）2，当且仅当x1xx2，即x1时等号成立.当x1时，y有最大值为1.师 很好.在求最值时，对定量与变量要理解清楚.师 下面我们再用基本不等式来解决实际应用题.(此时，老师用投影仪给出本节课第三组问题)（让学生独立思考，根据学生完成的典型情况，找两位学生到黑板板演，以便起到示范功能，同时教师再一次作点评）1.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？2.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？师 下面有的同学用函数也解决了这两个问题.很好，这说明同学们对所学过的知识、方法能够在不同的问题中灵活运用，解决问题的能力很强.由于时间关系，用函数解决这两个问题的方法我们就不交流了，让同学们课后去完成.3.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为 3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。生1； 解答是错误的，原因是，当x0时，就不能运用公式.事实上，当x0时，y0，故最小值不可能为2.此时，函数的值域为(-,-22,+).生 2；当x0时，yx-(-x-)-2.生3； 解答是错误的，其错误的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x 2x2，显然这样的x不存在，故y没有最小值.生4； 解答是错误的，此种解法的错误在于不是定值.显然当x越大时，也越大，故y无最大值.1.解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m.由，可得x+y2，等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此这个矩形的长、宽各都为 m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是 m.2.解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m.则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.由，可得xy81.等号当且仅当x=y=10时成立.因此这个矩形菜园的长、宽各都为m时，菜园的面积最大，最大面积是m2.（学生完成情况很好，要注意对答的要求）3.分析：水池呈长方体形，池底长、宽没有确定.设池底长、宽分别为x m、y m.水池总造价为z元.根据题意有z=150+120(2x+23y)=240 000+720(x+y).由容积为4 800 m3，可得xy=1 600z 297 600.等号当且仅当x=y=40时成立.所以将水池的底面设计为长为 m的正方形时水池总造价最低，最低总造价是 元.引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。五、课堂小结：师 通过本节课的学习，同学们感受到基本不等式的作用了吗？生 基本不等式不但可以用于本函数的值域、最值，更重要的是可以解决与最值有关的实际问题.师 数学这门学科，它是来源于生活，又作用于生活.也是一门基础科学，同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用.作为本节课的学习任务，同学们还应当掌握解决实际应用题的一般程序，即审题，建模，研究模，再回到实际问题验证作答.引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.课后作业布置作业，巩固提高1.课本第114页，习题3.4,组第2、题学生课后完成.进一步对所学知识巩固深化。板书设计基本不等式的应用（二）复习引入课堂练习方法归纳基本不等式 例 方法引导 小结实例剖析（知识方法应用）示范解题 习题详解(课本第114页习题3.4)A组1.（1）设两个正数为a、b，则a0,b0，且ab=36,所以a+b2ab =236=12,当且仅当a=b=6时取等号.答：当这两个正数均为时，它们的和最小.（）设两个正数为a、b，依题意a0,b0，且a+b=18,所以ab()2=()2=81,当且仅当 a=b=9时，它们的积最大.答：当这两个正数均为时，它们的积最大.2.设矩形的长为x m，宽为y m，菜园的面积为S m2，则x+2y=30,S=xy.由基本不等式与不等式的性质，可得S=x2y =.当 x=2y,即x=15,时，菜园的面积最大，最大面积是m2.3.设矩形的长和宽分别为x和y，圆柱的侧面积为z.因为2(x+y)=36,即x+y=18,z=2xy2=162.当x=y，即长和宽均为时，圆柱的侧面积最大.设房屋地面长为x m,宽为y m，总造价为z元，则xy=12,z=3y1 200+6x800+5 800= +4 800x+5 80023 600124 800+5 800=34 600.当=4 800x，即x=3时，z有最小值，最低总造价为34 600元.组1.设矩形的长为 x，由矩形（）的周长为24，可知宽为12-x，设 a，则 x-a，所以(12-x)2+(x-a)2=a2,可得, x-a=.所以的最大面积.由基本不等式与不等式的性质,得S6（-2+18）=6(18-12)=108-72.当，即x=6 m时，菜园的面积最大，最大面积是(108-72)m2.2.过点作交的延长线于点，设 ,=x.在中， tan=.在中，tan (+)= ,则.当且仅当，即=arctan时,视角最大.备课资料备用习题1.已知a、b是正实数，试比较an+bn与a n-1b+abn-1的大小.解：an+bn-a n-1b-ab n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).当ab0时，a-b0,a n-1-b n-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0;当ba0时，a-b0,a n-1-bn-10,得（a-b）(a n-1-b n-1)0;当b=a0时，（a-b）(an-1-bn-1)=0;所以当ab时，an+bna n-1b+ab n-1;当a=b时,an+bn=a n-1b+ab n-1.2.已知ABC内接于单位圆，且(1+tanA)(1+tanB)=2，（1）求证:内角C为定值；（2）求ABC面积的最大值. （）证明：由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)(tanA+tanB)=0.(tanA+tanB)0,，即tan(A+B)=1.C=135.（2）解析：由题意,可得SABC= ACBCsinC= ACBC ()2.当AC=BC时，SABC有最大值，最大值为SABC= (AC)2.再作辅助线如图，连结OC、OA，OC交AB于D得ABOC，所以AD=BD=,CD=1-,AC 2=AD2+CD2= 2-2,所以SABC的最大值= (AC)2=.3.一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h的速度匀速开往400 km处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？解析：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知t相当于：最后一辆车行驶了25个 +400 km所用的时间，因此，. 当且仅当,即x=80时取“=”.答：这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间是10小时.4.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A、B孔面积忽略不计)分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知,其中k0且k是比例系数.依题意要使y最小，只需求ab的最大值.由题设得4b2ab2a0（a0，b0），即a2bab30（a0，b0），a2b2,2ab30.当且仅当a2b时取“”，ab有最大值.当a2b时有2abab30，即b22b10.解之，得b 13，b2（舍去）.a2b.故当a米，b3米时，经沉淀后流出的水中杂质最少.解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，由题意可知4b2ab2a0（a0，b0），a2bab30（a0，b0）.（0a30).由题设，其中k0且k是比例系数，依题只需ab取最大值.当且仅当a2时取“”，即a，b3时ab有最大值18.故当a米，b3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.点评：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“”成立.5.如图，在ABC中，0，AC3，B4，一条直线分AB的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长.分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设中的等量关系，即SBSAB，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BEx，By.解：设Bx，By(0x4，0y），则SBBBsinBxysinB.又SABBA34,依题意可知SBSAB.xysinB3.，xy10,又,在B中，由余弦定理得2B2B22BBcosBx 2y 22xyx2y212xy14，当且仅当xy时，等号成立.故此时线段EF的长为2.点评：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法.从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法.