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第十节 第三课时 导数的综合应用课时作业A组基础对点练1(2018榆林市模拟)定义在R上的函数f(x)，满足(x1)f(x)0，且yf(x1)为偶函数，当|x11|x21|时，有()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) Df(x1)f(x2)解析：因为函数yf(x1)为偶函数，所以yf(x1)f(x1)，即函数yf(x)关于x1对称，所以f(2x1)f(x1)，f(2x2)f(x2)当x1时，f(x)0，此时函数yf(x)单调递减，当x1时，f(x)0，此时函数yf(x)单调递增若x11，x21，则由|x11|x21|，得x11x21，即1x1x2，所以f(x1)f(x2)同理若x11，x21，由|x11|x21|，得(x11)(x21)，即x2x11，所以f(x1)f(x2)若x1，x2中一个大于1，一个小于1，不妨设x11，x21，则(x11)x21，可得12x1x2，所以f(2x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)综上有f(x1)f(x2)答案：C2对xR，函数f(x)的导数存在，若f(x)f(x)，且a0，则以下说法正确的是()Af(a)eaf(0) Bf(a)f(0) Df(a)0，故g(x)为R上的单调递增函数，因此g(a)g(0)，即f(0)，所以f(a)eaf(0)，选A.答案：A3若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析：2x(xa)x.令f(x)x，f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为(1，)，故选D.答案：D4已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f(x)，若p：x1，x2R，且x1x2，|2 017，q：xR，|f(x)|2 017，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：因为x1，x2R，且x1x2，所以不妨设x1x2，则由|2 017可得|f(x1)f(x2)|2 017x22 017 x1，则，即.令g(x)f(x)2 017 x，则由单调性的定义可知g(x)在R上单调递增，所以g(x)f(x)2 0170在R上恒成立，即f(x)2 017在R上恒成立，同理令h(x)f(x)2 017x，可得f(x)2 017在R上恒成立，所以p等价于xR，|f(x)|2 017，显然q可以推出p，而p推不出q，所以p是q的必要不充分条件答案：B5(2018昆明市检测)已知函数f(x)若方程f(x)ax0恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是()A(0，) B，)C(， D(，0，)解析：方程f(x)ax0有两个不同的实根，即直线yax与函数f(x)的图象有两个不同的交点作出函数f(x)的图象如图所示当x1时，f(x)ln x，得f(x)，设直线ykx与函数f(x)ln x(x1)的图象相切，切点为(x0，y0)，则，解得x0e，则k，即yx是函数f(x)ln x(x1)的图象的切线，当a0时，直线yax与函数f(x)的图象有一个交点，不合题意；当0a时，直线yax与函数f(x)ln x(x1)的图象有两个交点，但与射线yx1(x1)也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意；当a时，直线yax与函数f(x)的图象至多有一个交点，不合题意；只有当a时，直线yax与函数f(x)的图象有两个交点，符合题意故选B.答案：B6已知函数f(x)m2ln x(mR)，g(x)，若至少存在一个x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，则实数m的取值范围是()A. BC(，0 D(，0)解析：由题意，不等式f(x)g(x)在1，e上有解，mx2ln x在1，e上有解，即在1，e上有解，令h(x)，则h(x)，当1xe时，h(x)0，在1，e上，h(x)maxh(e)，m.m的取值范围是.故选B.答案：B7若函数f(x)xexa有两个零点，则实数a的取值范围为()AaCea0 D0a0，所以由g(x)0，解得x1，当x1时，g(x)0，函数g(x)为增函数；当x1时，g(x)0，函数g(x)为减函数，所以当x1时函数g(x)有最小值；g(1)e1.画出函数yxex的图象，如图所示，显然当a0时，函数f(x)xexa有两个零点，故选A.答案：A8当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 BC6，2 D4，3解析：当x(0,1时，得a3342，令t，则t1，)，a3t34t2t，令g(t)3t34t2t，t1，)，则g(t)9t28t1(t1)(9t1)，显然在1，)上，g(t)0，g(t)单调递减，所以g(t)maxg(1)6，因此a6；同理，当x2,0)时，得a2.由以上两种情况得6a2，显然当x0时也成立，故实数a的取值范围为6，2答案：C9若函数f(x)2xsin x对任意的m2,2，f(mx3)f(x)0恒成立，f(x)在R上为增函数，又f(x)为奇函数，故在定义域内为增函数，f(mx3)f(x)0可变形为f(mx3)f(x)，mx3x，将其看作关于m的一次函数，则g(m)xm3x，m2,2，可得当m2,2时，g(m)0恒成立，若x0，g(2)0，若x0，g(2)0，解得3x1.答案：3x110已知函数f(x)ln x3x8的零点x0a，b，且ba1，a，bN*，则ab_.解析：f(2)ln 268ln 220，且函数f(x)ln x3x8在(0，)上为增函数，x02,3，即a2，b3.ab5.答案：511已知函数f(x)axxln x(aR)(1)若函数f(x)在区间e，)上为增函数，求a的取值范围；(2)当a1且kZ时，不等式k(x1)f(x)在x(1，)上恒成立，求k的最大值解析：(1)f(x)aln x1，由题意知f(x)0在e，)上恒成立，即ln xa10在e，)上恒成立，即a(ln x1)在e，)上恒成立，而(ln x1)max(ln e1)2，a2，即a的取值范围为2，)(2)当a1时，f(x)xxln x，x(1，)，原不等式可化为k，即k1恒成立令g(x)，则g(x).令h(x)xln x2(x1)，则h(x)10，h(x)在(1，)上单调递增h(3)1ln 30，存在x0(3,4)使h(x0)0，即g(x0)0.即当1xx0时，h(x)0，即g(x)x0时，h(x)0，即g(x)0.g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增由h(x0)x0ln x020，得ln x0x02，g(x)ming(x0)x0(3,4)，kg(x)minx0且kZ，即kmax3.12(2018德州中学月考)已知函数f(x)mx2xln x.(1)若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；(2)当0m时，若曲线C：yf(x)在点x1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围解析：(1)f(x)2mx1，即2mx2x10时，由于函数y2mx2x1的图象的对称轴x0，故需且只需0，即18m0，解得m.故0m，综上所述，实数m的取值范围为.(2)f(1)m1，f(1)2m，故切线方程为ym12m(x1)，即y2mxm1.从而方程mx2xln x2mxm1在(0，)上有且只有一解设g(x)mx2xln x(2mxm1)，则g(x)在(0，)上有且只有一个零点又g(1)0，故函数g(x)有零点x1.则g(x)2mx12m.当m时，g(x)0，又g(x)不是常数函数，故g(x)在(0，)上单调递增函数g(x)有且只有一个零点x1，满足题意当0m1，由g(x)0，得0x；由g(x)0，得1x.故当x在(0，)上变化时 ，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0,1)1g(x)00g(x)极大值极小值根据上表知g0，故在上，函数g(x)又有一个零点，不满足题意综上所述，m.B组能力提升练1已知函数f(x)x(ln xax)有极值，则实数a的取值范围是()A(，) B(0，)C(， D(0，解析：f(x)xln xax2(x0)，f(x)ln x12ax.令g(x)ln x12ax，函数f(x)x(ln xax)有极值，则g(x)0在(0，)上有实根g(x)2a，当a0时，g(x)0，函数g(x)在(0，)上单调递增，当x0时，g(x)，当x，g(x)，故存在x0(0，)，使得f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，故f(x)存在极小值f(x0)，符合题意当a0时，令g(x)0，得x.当0x时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当x时，g(x)0，函数g(x)单调递减，x时，函数g(x)取得极大值当x0和x时，均有g(x)，要使g(x)0在(0，)上有实根，且f(x)有极值，则g()ln0，解得0a.综上可知，实数a的取值范围是(，)，选A.答案：A2已知函数f(x)k(ln x)，若x2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围为()A(，e B0，eC(，e) D0，e)解析：f(x)k(ln x)，则f(x)(exkx)，x2是函数f(x)的唯一极值点，x2是f(x)0的唯一根exkx0在(0，)上恒成立令g(x)exkx(x(0，)，则g(x)exk.当k0时，g(x)0恒成立，g(x)在(0，)上单调递增，又g(0)1，g(x)0恒成立当k0时，g(x)0的根为xln k，当0xln k时，g(x)0，g(x)单调递减；当xln k时，g(x)0，g(x)单调递增g(x)的最小值为g(ln k)kkln k，kkln k0，0ke，综上所述，ke.故选A.答案：A3(2018宜州调研)设f(x)|ln x|，若函数g(x)f(x)ax在区间(0,4)上有三个零点，则实数a的取值范围是()A. BC. D.解析：令y1f(x)|ln x|，y2ax，若函数g(x)f(x)ax在区间(0,4)上有三个零点，则y1f(x)|ln x|与y2ax的图象(图略)在区间(0,4)上有三个交点由图象易知，当a0时，不符合题意；当a0时，易知y1|ln x|与y2ax 的图象在区间(0,1)上有一个交点，所以只需要y1|ln x|与y2ax的图象在区间(1,4)上有两个交点即可，此时|ln x|ln x，由ln xax，得a.令h(x)，x(1,4)，则h(x)，故函数h(x)在(1，e)上单调递增，在(e,4)上单调递减，h(e)，h(1)0，h(4)，所以a0)有唯一的零点x0，且mx00，x0)因为函数f(x)有唯一零点x0，所以函数g(x)，h(x)的图象有唯一一个交点，即g(x)，h(x)有唯一公切点(x0，y0)，即由得x2ln x00，令(x)x2ln x0，则(1)30，(2)57ln 20，(e)e20，所以x0(2，e)，所以m2，n3，所以mn5.答案：C6若函数f(x)1(a0)没有零点，则实数a的取值范围为_解析：f(x).当a0，解得ae2，所以此时e2a0，故实数a的取值范围为(e2,0)答案：(e2,0)7若正数x，y满足15xy22，则x3y3x2y2的最小值为_解析：由正数x，y满足15xy22，可得y15x220，则x，y0，又x3y3x2y2(x3x2)(y3y2)，其中y3y2yy(y2y)y(y)20，即y3y2y，当且仅当y时取得等号，设f(x)x3x2，f(x)的导数为f(x)3x22xx(3x2)，当x时，f(x)0，f(x)递增，x时，f(x)0，f(x)递减即有f(x)在x取得极小值，也为最小值，此时y1522，则x3y3x2y2(x3x2)(y3y2)y1.当且仅当xy时，取得最小值1.答案：18(2018长沙模拟)已知函数f(x)x|x2a|，若存在x1,2，使得f(x)2，则实数a的取值范围是_解析：当x1,2时，f(x)|x3ax|，由f(x)2可得2x3ax2，即为x2a5，即a5；设h(x)x2，导数为h(x)2x，当x1,2时，h(x)0，即h(x)在1,2上单调递减，可得h(x)max121.即有a1.综上可得，a的取值范围是1a5.答案：(1,5)9已知f(x)ax2，g(x)2ln x，若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不等解，试求a的取值范围解析：原式等价于方程a在区间，e上有两个不等解令(x)，由(x)易知，(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)，().由(e)()0，所以(e)()所以(x)min(e)，如图可知(x)a有两个不等解时，需a1.证明：(1)g(x)，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，即g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数所以g(x)g(1)1，得证(2)f(x)1，f(x)，所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，所以f(x)f(2)1，又由(1)知xln x1，且等号不同时取得所以(xln x)f(x)1.
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