资源描述
2.2.1条件概率学习目标1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题知识点一条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格令A产品的长度合格，B产品的质量合格，AB产品的长度、质量都合格思考1试求P(A)，P(B)，P(AB)答案P(A)，P(B)，P(AB).思考2任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率答案事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B).思考3P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系答案P(A|B).梳理条件设A，B为两个事件，且P(A)0含义在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记作P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率计算公式缩小样本空间法：P(B|A)公式法：P(B|A)知识点二条件概率的性质1任何事件的条件概率都在0和1之间，即0P(B|A)1.2如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)1若事件A，B互斥，则P(B|A)1.()2事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生()类型一求条件概率例1现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率解设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n()A30.根据分步乘法计数原理，有n(A)AA20，所以P(A).(2)因为n(AB)A12，所以P(AB).(3)方法一由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A).方法二因为n(AB)12，n(A)20，所以P(B|A).反思与感悟利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生跟踪训练1某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75 C0.6 D0.45考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案A解析设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)0.8.例2集合A1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率考点条件概率的定义及计算公式题点利用缩小基本事件空间求条件概率解将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P.引申探究1在本例条件下，求乙抽到偶数的概率解在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P.2若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)解甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个所以P(B|A).反思与感悟将原来的基本事件全体缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的跟踪训练25个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为_考点条件概率的定义及计算公式题点利用缩小基本事件空间求条件概率答案解析设第1次取到新球为事件A，第2次取到新球为事件B，则P(B|A).类型二条件概率的性质及应用例3把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率考点条件概率的性质及应用题点条件概率性质的简单应用解设A从第一个盒子中取得标有字母A的球，B从第一个盒子中取得标有字母B的球，R第二次取出的球是红球，W第二次取出的球是白球，则容易求得P(A)，P(B)，P(R|A)，P(W|A)，P(R|B)，P(W|B).事件“试验成功”表示为ARBR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得P(ARBR)P(AR)P(BR)P(R|A)P(A)P(R|B)P(B)0.59.反思与感悟当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(BC|A)P(B|A)P(C|A)便可求得较复杂事件的概率跟踪训练3在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率考点条件概率的性质及应用题点条件概率性质的简单应用解记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且DABC，EAB，可知P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，P(AD)P(A)，P(BD)P(B)，P(E|D)P(A|D)P(B|D).故获得优秀成绩的概率为.1已知P(B|A)，P(AB)，则P(A)等于()A. B. C. D.考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案C解析因为P(B|A)，所以P(A).2市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是()A0.665 B0.564 C0.245 D0.285考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案A解析记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)0.7，P(B|A)0.95，P(AB)P(A)P(B|A)0.70.950.665.3从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A. B. C. D.考点条件概率的定义及计算公式题点利用缩小基本事件空间求条件概率答案B解析P(A)，P(AB)，P(B|A).4假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是_考点条件概率的定义及计算公式题点利用缩小基本事件空间求条件概率答案解析一个家庭的两个小孩只有4种可能：男，男，男，女，女，男，女，女，由题意可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P.5抛掷红、蓝两枚骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率解抛掷红、蓝两枚骰子，事件总数为6636，事件A的基本事件数为6212，所以P(A).由于366345548,4664558，56658,668.所以事件B的基本事件数为432110，所以P(B).事件AB的基本事件数为6.故P(AB).由条件概率公式得(1)P(B|A).(2)P(A|B).1条件概率：P(B|A).2概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间A中，计算B发生的概率用古典概型公式，则P(B|A)，P(AB).一、 选择题1某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是()A0.2 B0.33 C0.5 D0.6考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案A解析记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.2将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A两个点数互不相同，B出现一个5点，则P(B|A)等于()A. B. C. D.考点条件概率的定义及计算公式题点利用缩小基本事件空间求条件概率答案A解析出现点数互不相同的共有6530(种)，出现一个5点共有5210(种)，所以P(B|A).37名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是()A. B. C. D.考点条件概率的定义及计算公式题点利用缩小基本事件空间求条件概率答案C解析记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，则n(A)A，n(AB)A，所以P(B|A).4盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为()A. B. C. D.考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案D解析设“第二次取得一等品”为事件A，“第一次取得二等品”为事件B，则P(AB)，P(A)，所以P(B|A).5在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若A，B，则P(B|A)等于()A. B. C. D.考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案A解析P(A).AB，P(AB)，P(B|A).6甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于()A. B. C. D.考点条件概率的定义及计算公式题点利用缩小基本事件空间求条件概率答案C解析由题意可知n(B)C2212，n(AB)A6.所以P(A|B).7已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A. B. C. D.答案D解析方法一设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)，P(AB)，则所求概率为P(B|A).方法二第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为.二、填空题8某种元件用满6 000小时未坏的概率是，用满10 000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为_考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案解析设“用满6 000小时未坏”为事件A，“用满10 000小时未坏”为事件B，则P(A)，P(AB)P(B)，所以P(B|A).9如图，四边形EFGH是以O为圆心、1为半径的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”， 则(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案(1)(2)解析正方形的面积为2，圆的面积为.(1)A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，P(A).(2)B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，P(AB)，P(B|A).10设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率 0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是_考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案0.5解析设该动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，则P(A)0.8，P(B)0.4，又P(AB)P(B)，所以P(B|A)0.5.11有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为_考点条件概率的性质及应用题点条件概率性质的简单应用答案解析设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则DBC且B与C互斥又P(A)，P(AB)，P(AC)，故P(D|A)P(BC|A)P(B|A)P(C|A).三、解答题12从1100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，求此数是2或3的倍数的概率考点条件概率的性质及应用题点条件概率性质的简单应用解设事件C为“取出的数不大于50”，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B为“取出的数是3的倍数”则P(C)，且所求概率为P(AB|C)P(A|C)P(B|C)P(AB|C)2.13坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率解设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的总基本事件数为n()A20.又n(A)AA12，于是P(A).(2)因为n(AB)326，所以P(AB).(3)由(1)(2)，可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A).四、探究与拓展14先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“xy为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且xy”，则概率P(B|A)_.考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案解析根据题意，事件A为“xy为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有23318个基本事件事件A发生的概率为P(A)，而A，B同时发生，基本事件有“24”，“26”，“42”，“46”，“62”，“64”，共6个，事件A，B同时发生的概率为P(AB)，P(B|A).15甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率考点条件概率的性质及应用题点条件概率性质的简单应用解(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C28，这2个产品都是次品的事件数为C3，所以这2个产品都是次品的概率为.(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品，1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1，事件B2，事件B3彼此互斥P(B1)，P(B2)，P(B3)，所以P(A|B1)，P(A|B2)，P(A|B3).所以P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3).
展开阅读全文