2019届高三数学12月月考试卷 理(含解析).doc

2019届高三数学12月月考试卷 理(含解析)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在复平面上满足条件的复数z所对应的点的轨迹是( )A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆【答案】C【解析】设（），由，得，所以，即点到两点和的距离和为，所以复数在复平面上对应点的轨迹为线段，故选C.2.若集合( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】应选C分析：由集合A和B的取值范围，找出它们的公共部分，就得到集合AB解答：解：A=x|-1x1，B=y|y0ABx|-1x1y|y0=x|0x1 故答案为：C点评：本题考查交集的运算，解题时要认真审题，注意公式的合理运用3.某同学用收集到的6组数据对xi,yi(其中i=1,2,3,4,5,6)制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程为y=bx+a，相关系数为r现给出以下3个结论：( )r0；直线l恰好过点Db1；其中正确结论是A. B. C. D. 【答案】A【解析】由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数r0；因为x=0+1+2+3+5+76=3,y=1.5+2+2.3+3+5+4.26=3,所以回归直线的方程必过点(x,y)=(3,3)，即直线恰好过点D；因为直线斜率接近于AD斜率，而kAD=31.53=120)的（ ）A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等【答案】C【解析】曲线可得：a2=25,b2=9c2=16，曲线x225t+y29t=1(t0)可得：a2=25t,b2=9tc2=16t由此可得只有其离心率时相等的9.设fnx=1+x+x2+xnx0，其中nN,n2，则函数Gnx=fnx2在12n,1内的零点个数是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 与n有关【答案】B【解析】【分析】先利用导数判断fx在0,+上单调递增，再利用零点存在定理可得结果.【详解】由fnx=1+2x+3x2+4x3+.+nxn10，知fx在0,+上单调递增，Gn12=fn122=112n+11122=212n2=12n0n2，根据零点存在定理可得Gnx=fnx2在12n,1零点的个数只有1个，故选B.【点睛】判断函数y=fx零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令fx=0,则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且fafb0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.10.右图是一个算法流程图，若输入n的值是8，输出S的值是50，则的取值范围是 ( )A. 11a12 B. 11a12C. 12a13 D. 12a13【答案】D【解析】执行程序框图，输入n=8,S=0，第一次循环S=8,n=9；第二次循环S=17,n=10；第三次循环S=27,n=11；第四次循环S=38,n=12；第五次循环S=50,n=13，此时结束输出S=50，所以的取值范围是12b0交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为( )A. 32 B. 423C. 312 D. 31【答案】D【解析】依题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点和A,B两点得到一矩形，直线y=3x的倾斜角为23，所以矩形的宽为，长为3c.根据椭圆的定义有c+3c=2a，故e=ca=23+1=31.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的几何性质和圆的几何性质，还考查了椭圆的对称性.解题的关键是判断两个焦点与A,B两点所组成的四边形为矩形，再结合直线y=3x的倾斜角，和椭圆的定义，可求得关于a,c的一个方程，将方程化为离心率即可求得离心率.12.在空间直角坐标系Oxyz中，O为原点，平面xOz内有一平面图形由曲线z=4x2与x轴围成，将该图形按空间向量a=xa,ya,za=0,2,2进行平移，平移过程中平面图形所划过的空间构成一个三维空间几何体，该几何体的体积为( )A. 4 B. 42 C. 8 D. 82【答案】A【解析】【分析】根据题意得到所划过的空间构成的是以半径为2的半圆为上下底面，高为2的斜圆柱，再由祖暅定理得到结果.【详解】平面图形是以O为圆心，2为半径的半圆，将该圆按照空间向量a=xa,ya,za=0,2,-2进行平移，所划过的空间构成的是以半径为2的半圆为上下底面，高为2的斜圆柱，由祖暅原理，斜圆柱体积计算方法和直圆柱的计算方法相同，V=2222=4. 故答案为：A.【点睛】这个题目考查了立体图形的体积的计算，以及学生的空间想像能力，也涉及祖暅原理的应用，题目中等难度.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x,y满足约束条件x+y1,x+2y2,xa,目标函数z=2x+3y的最小值为2，则a= _.【答案】1 【解析】【分析】结合前两个不等式可知a0，作出可行域的大致形状，化目标函数为斜截式直线方程，数形结合可知当y=23x+z3过区域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，联立方程组求出点A坐标和的值.【详解】作出约束条件的可行域，如图所示，结合前两个不等式可知a0；目标函数Z=2x+3y，转化成直线y=23x+z3，当截距z3取最小值目标函数对应最小值2.由图可知，当直线y=23x+z3过点A时取得最小截距.联立方程组x+y=1x=a2=2x+3y，解得x=1y=0a=1故答案为1.【点睛】本题主要考查线性规划的含参问题，数形结合是解决问题的关键.目标函数z=ax+by型线性规划问题解题步骤（含参问题求参数也适用）：（1）确定可行区域 （2）将z=ax+by转化为y=-abx+zb，求z的值，可看做求直线y=abx+zb，在y轴上截距zb的最值。（3）将y=abx平移，观察截距zb最大（小）值对应的位置，联立方程组求点坐标。 （4）将该点坐标代入目标函数，计算Z。14.数列1，11+2，11+2+3，11+2+3+n,nN的前49项和为_.【答案】4925【解析】【分析】由等差数列求和公式得到an的通项，再裂项求和即可.【详解】令an=11+2+3+.+n，1+2+3+.+n=nn+12，an=2nn+1=2n2n+1，a1+a2+.+a49=21+123+2324+.+249250=4925，故答案为：4925.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的:已知Sn和an的关系，求an表达式，一般是写出Sn1做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。15.把座位编号为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为_(用数字作答)【答案】96【解析】试题分析：根据题意，先将票分为符合题意要求的4份；可以转化为将1、2、3、4、5这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案解：先将票分为符合条件的4份；由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号；易得在4个空位插3个板子，共有C43=4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况；则共有424=96种情况；故答案为96考点：排列、组合的应用点评：本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法解决问题16.设函数fx=exsinxcosx0x2015，则函数fx的各极大值之和为_【答案】e1-e20141-e2【解析】【分析】对函数求导得到函数的单调性，进而得到函数的极大值点和极大值，再由等比数列求和公式得到结果.【详解】fx=2exsinx.当x2k,2k+时，fx0,fx递增，x2k+,2k,2时，fxb，求a,b值【答案】() () a=2,b=3【解析】【分析】（）根据向量的点积运算的坐标表示得到函数表达式，由周期公式得到结果；（）由三角函数值得到角C的值，再由余弦定理得到a2+b2=7结合ab=23可求值.【详解】（）f(x)=mn=(2cos2x,3)(1,sin2x)=2cos2x+3sin2x=cos2x+1+3sin2x=2sin(2x+6)+1.故最小正周期T=22= (）f(C)=2sin(2C+6)+1=3，sin(2C+6)=1， C是三角形内角，2C+6=2 即：C=6. cosC=b2+a2-c22ab=32 即： a2+b2=7 将ab=23代入可得：a2+12a2=7，解之得：a2=3或4,a=3或2，b=2或3,ab,a=2,b=3【点睛】这个题目考查了向量的点积运算，三角函数的两角和正弦公式的应用，也考查了余弦定理解三角形的应用. 在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。18.如图，四棱锥 P-ABCD 底面为正方形，已知 PD平面ABCD，PD=AD，点 M 为线段 PA 上任意一点（不含端点），点 N 在线段 BD 上，且 PM=DN（1）求证：直线MN平面PCD；（2）若 M 为线段 PA 中点，求直线 PB 与平面 AMN 所成的角的余弦值 【答案】（1）详见解析（2）223【解析】试题分析：（1）延长AN，交CD于点G，只需证明MN/PG,通过GDNABN可证明AMNAPG，从而证明MN/PG。（2）由于DADCDP，以DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用线面角的向量公式解题。试题解析：（）延长AN，交CD于点G，由相似知ANNG=BNND=AMMP， MN平面PCD，PG平面PCD，则直线MN/平面PCD；（）由于DADCDP，以DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，M(12,0,12)，N(12,12,0) 则PB=(1,1,-1)，平面AMN的法向量为m=(1,1,1)， 则向量PB与m的夹角为，则cos=13，则PB与平面AMN夹角的余弦值为223.19.在数列an中，a1=0,an+1=3an+4n.(1)若存在常数，使得an+n+是公比为3的等比数列，求，的值；(2)对于（1）中的，记cn=(n+)(an+n+)，求数列cn的前n项和Sn.【答案】(1) =2,=1 (2) Sn=n3n+1【解析】【分析】（1）根据题意an+n+是公比为3的等比数列，故可求an+1=3an+2n+2-，结合an+1=3an+4n，对应系数相等即可；（2）结合第一问得到cn=2n+13n，之后错位相减即可得到结果.【详解】（1）由题意，an+1+n+1+=3an+n+，即an+1=3an+2n+2-.又an+1=3an+4n，所以2=4,2-=0.解得=2,=1（2）由（l）知，若设bn=an+n+，bn是首项为3，且公比为3的等比数列，故bn=33n-1=3n，即an+2n+1=3n，故an=3n-2n-1所以cn=2n+13n.Sn=331+532+733+.+2n-13n-1+2n+13n3Sn=332+533+734+.+2n-13n-1+2n-13n+2n+13n+1-得2Sn=-331-232-233-.-23n+2n+13n+1=-9-232-3n31-3+2n+13n+1=2n3n+1故Sn=n3n+1【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的:已知Sn和an的关系，求an表达式，一般是写出Sn1做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。20.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10(1)求出m，n的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s甲2和s乙2，并由此分析两组技工的加工水平；【答案】(1) m=3,n=8 (2) s甲2=5.2，s乙2=2，甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些【解析】【分析】(1)根据平均数的概念和数值得到参数值即可；（2）根据公式求出两组的方差，结合第一问求得的平均值可做出判断.【详解】（1）根据题意可知：x甲=7+8+10+12+10+m=10x乙=9+n+10+11+12=10.m=3,n=8（2）s甲2=157-102+8-102+10-102+12-102+13-102=5.2，s乙2=158-102+9-102+10-102+11-102+12-102=2.x甲=x乙,s甲2s乙2甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些.【点睛】这个题目考查了茎叶图的应用，以及茎叶图中平均值的求法，方差公式的应用，以及利用数据对样本做出评价。方差可以说明整体数据的波动程度，体现数据的平稳性，平均数能体现整体水平的高低.21.已知A,B,C为椭圆E：x22+y2=1上三个不同的点，O为坐标原点，且O为ABC的重心(1)如果直线AB、OC的斜率都存在，求证是kABkOC为定值；(2)试判断ABC的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由【答案】（1）kABkOC=12（2）364 【解析】【分析】（1）设出直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出两个坐标间的关系，由斜率公式表示出两条直线的斜率，乘积判断是否为定值。（2）根据弦长公式，求得AB长度，由点到直线距离公式求得高，再用面积公式判断是否为定值。【详解】（1）设直线AB:y=kx+m，代入x22+y2=1得：1+2k2x2+4kmx+2m2-1=0设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-12k2+1；由=16m2k2-81+2k2m2-10得：m21+2k2线段AB中点D(-2km2k2+1,m2k2+1) ,因为O为ABC的重心，所以kABkOC=kABkOD=k(-12k)=-12 为定值. （2）设Cx3,y3，则x3=-x1+x2=4km2k2+1,y3=-y1+y2=-2m2k2+1代入x22+y2=1得1+2k2=4m2，又AB=1+k2x1-x2，原点O到AB的距离d=m1+k2于是SOAB=12ABd=12m4km1+2k22-42m2-11+2k2=2m1+2k21+2k2-m2=2m4m23m2=64所以SABC=3SOAB=364（定值）.【点睛】本题考查了直线与椭圆相交时的位置关系及简单应用，主要是利用韦达定理建立两个坐标间的关系，进而求得最后的解，属于中档题。22.已知函数fx=lnxax2在x=1处的切线与直线xy+1=0垂直(1)求函数y=fx+xfx（fx为f(x)的导函数）的单调递增区间； (2)记函数gx=fx+32x21+bx，设x1,x2x10)；当时，单调递增；当时，单调递减；故函数的单调增区间为.（2）， ，因为，是的两个极值点，故，是方程的两个根，由韦达定理可知：，可知，又，令，可证在递减，由，从而可证.所以 . .令， ，所以单调减，故，所以，即.