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专题20 数列求和一、 考纲要求： 1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法二、概念掌握及解题上的注意点：(1.分组转化法求和的常见类型(1)若an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是或等差数列，可采用分组求和法求和 2.错位相减法求和的适用范围如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和.3.错位相减法求和的注意事项在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.三、高考考题题例分析： 例1.（2018天津卷） 设an是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（nN*），bn是等差数列已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6（）求an和bn的通项公式；（）设数列Sn的前n项和为Tn（nN*），（i）求Tn；（ii）证明=2（nN*）【答案】（），bn=n； （）（i）Tn=2n+1-n-2【解析】：（）解：设等比数列an的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2q2=0q0，可得q=2故设等差数列bn的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，b1=d=1故bn=n；例2.（2018江苏卷）已知集合A=x|x=2n1，nN*，B=x|x=2n，nN*将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an，记Sn为数列an的前n项和，则使得Sn12an+1成立的n的最小值为【答案】27【解析】：利用列举法可得：S26=，a27=43，12a27=516，不符合题意S27=546，28=451228=540，符合题意，故答案为：27例3.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A440B330C220D110【答案】A例4.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，则_【答案】【解析】：由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以例5.【2015高考山东，理18】设数列的前n项和为.已知.（I）求的通项公式；（II）若数列满足，求的前n项和.【答案】（I）; （II）.（II）因为 ，所以 当 时， 所以 当 时， 所以两式相减，得经检验， 时也适合，综上可得： 例6.(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和【答案】(1) an. (2) Sn例7.(2017山东高考)已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n1bnbn1，求数列的前n项和Tn.【答案】(1) an2n. (2) Tn5.【解析】：(1)设an的公比为q，由题意知a1(1q)6，aqa1q2，又an0，由以上两式联立方程组解得a12，q2，所以an2n.(2)由题意知S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn.因此Tnc1c2cn，又Tn，两式相减得Tn，所以Tn5.例8.(2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和【答案】(1) an2n1(n1,2,3，) (2) n2.(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.数列求和练习一、选择题 1已知等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S525，则S7 ()A41B48C49 D56【答案】C2数列12n1的前n项和为 ()A12n B22nCn2n1 Dn22n【答案】C【解析】：由题意得an12n1，所以Snnn2n13数列an的通项公式是an(1)n(2n1)，则该数列的前100项之和为 ()A200 B100C200 D100【答案】D【解析】：根据题意有S1001357911197199250100，故选D4数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于 ()An21B2n2n1Cn21Dn2n1【答案】A【解析】：该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)n21.5数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于 ()A1BCD【答案】B【解析】：an，S5a1a2a51.6数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n等于 ()A9B99C10D100【答案】B7已知数列an中，an4n5，等比数列bn的公比q满足qanan1(n2)且b1a2，则|b1|b2|b3|bn| ()A14n B4n1C D【答案】B【解析】：由已知得b1a23，q4，bn(3)(4)n1，|bn|34n1，即|bn|是以3为首项，4为公比的等比数列|b1|b2|bn|4n18在数列an中，an1an2，Sn为an的前n项和若S1050，则数列anan1的前10项和为 ()A100B110 C120D130【答案】C【解析】：anan1的前10项和为a1a2a2a3a10a112(a1a2a10)a11a12S10102120.故选C9数学文化中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 () A192里B96里 C48里D24里【答案】B【解析】：由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则378，解得a1192，则a296，即第二天走了96里故选B.10已知数列5,6,1，5，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于 ()A5B6 C7D16【答案】C11已知函数f(x)xa的图象过点(4,2)，令an，nN*，记数列an的前n项和为Sn，则S2 019 ()A1B1C1D1【答案】C【解析】：由f(4)2得4a2，解得a，则f(x)x.an，S2 019a1a2a3a2 019()()()()1.12已知函数f(x)的图象关于x1对称，且f(x)在(1，)上单调，若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，则an的前100项的和为 ()A200B100C0D50【答案】B【解析】：因为函数f(x)的图象关于x1对称，又函数f(x)在(1，)上单调，数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，所以a50a512，所以S10050(a50a51)100，故选B. 二、填空题13设数列an 的前n项和为Sn，且ansin，nN*，则S2 018_.【答案】1【解析】：ansin，nN*，显然每连续四项的和为0.S2 018S4504a2 017a2 0180101.14计算：321422523(n2)2n_.【答案】415(2017全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则_.【答案】【解析】：设等差数列an的公差为d，则由得Snn11，2. 22.16已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an2n，则Sn_. 【答案】n2n(nN*)三、解答题17已知数列an的前n项和Sn满足：Snn22n，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和. 【答案】(1) an2n1 (2) 【解析】：(1)当n2时，anSnSn12n1，a1S13也满足an2n1，所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，则Tn.18.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a11，S3S4S5.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1an，求数列bn的前2n项和T2n.【答案】(1) an1(n1)22n1 (2) T2n2n.19.已知等差数列an中，2a2a3a520，且前10项和S10100.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和. 【答案】(1) an2n1 (2) 【解析】：(1)由已知得解得所以数列an的通项公式为an12(n1)2n1.(2)bn，所以Tn.20已知数列an的前n项和Sn，数列bn满足bnanan1(nN*)(1)求数列bn的通项公式；(2)若cn2an(bn1)(nN*)，求数列cn的前n项和Tn.【答案】(1) bn2n1 (2) Tn(n1)2n24.21.已知等差数列an的前n项和为Sn，若Sm14，Sm0，Sm214(m2，且mN*). (1)求m的值；(2)若数列bn满足log2bn(nN*)，求数列(an6)bn的前n项和【答案】(1) m5 (2) Tn(n1)2n1(nN*)【解析】：(1)由已知得amSmSm14，且am1am2Sm2Sm14，设数列an的公差为d，则2am3d14，d2.由Sm0，得ma120，即a11m，ama1(m1)2m14，m5.(2)由(1)知a14，d2，an2n6，n3log2bn，得bn2n3.(an6)bn2n2n3n2n2.设数列(an6)bn的前n项和为Tn，Tn121220(n1)2n3n2n2，2Tn120221(n1)2n2n2n1，得Tn21202n2n2n1n2n12n1n2n1，Tn(n1)2n1(nN*)22设Sn是数列an的前n项和，已知a13，an12Sn3(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn.【答案】(1) an3n. (2) Tn(n1)3n13.(2)法一：由(1)得bn(2n1)an(2n1)3n，Tn13332533(2n1)3n，3Tn132333534(2n1)3n1，得2Tn1323223323n(2n1)3n132(32333n)(2n1)3n132(2n1)3n16(2n2)3n1.Tn(n1)3n13.
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