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2.3（二）导数的综合应用【课时作业】A级1(2018昆明市高三摸底调研测试)若函数f(x)2xx21，对于任意的xZ且x(，a)，都有f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为()A(，1 B(，0C(，4 D(，5解析：对任意的xZ且x(，a)，都有f(x)0恒成立，可转化为对任意的xZ且x(，a)，2xx21恒成立令g(x)2x，h(x)x21，当x0时，g(x)h(x)，当x0或1时，g(x)h(x)，当x2或3或4时，g(x)h(x)综上，实数a的取值范围为(，5，故选D.答案：D2已知函数yf(x)是R上的可导函数，当x0时，有f(x)0，则函数F(x)xf(x)的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：由F(x)xf(x)0，得xf(x)，设g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)，因为x0时，有f(x)0，所以x0时，0，即当x0时，g(x)f(x)xf(x)0，此时函数g(x)单调递增，此时g(x)g(0)0，当x0时， g(x)f(x)xf(x)g(0)0，作出函数g(x)和函数y的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，由图象可知函数F(x)xf(x)的零点个数为1个答案：B3定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f(x)，即f(x)f(x).定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f(x)0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数已知函数f(x)x3x21在区间D上为凹函数，则x的取值范围是_解析：f(x)x3x21，f(x)3x23x，f(x)6x3.令f(x)0，即6x30，解得x.x的取值范围是.答案：4已知函数f(x)，g(x)(x1)2a2，若当x0时，存在x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围是_解析：由题意得存在x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，等价于f(x)ming(x)max.因为g(x)(x1)2a2，x0，所以当x1时，g(x)maxa2.因为f(x)，x0，所以f(x).所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)e.又g(x)maxa2，所以a2ea或a.故实数a的取值范围是(，)答案：(，)5(2018武汉市武昌区调研考试)已知函数f(x)ln x，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0时，证明f(x).解析：(1)f(x)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增当a0时，若xa，则f(x)0，函数f(x)在(a，)上单调递增；若0xa，则f(x)0时，f(x)minf(a)ln a1.要证f(x)，只需证ln a1，即证ln a10.令函数g(a)ln a1，则g(a)(a0)，当0a1时，g(a)1时，g(a)0，所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以g(a)ming(1)0.所以ln a10恒成立，所以f(x).6(2018南昌市第一次模拟测试卷)已知函数f(x)exaln xe(aR)，其中e为自然对数的底数(1)若f(x)在x1处取得极小值，求a的值及函数f(x)的单调区间；(2)若当x1，)时，f(x)0恒成立，求a的取值范围解析：(1)易知f(x)的定义域为(0，)由f(x)exaln xe(aR)，得f(x)ex.由题意可知f(1)0，所以ae，所以f(x)ex.令g(x)xexe，则g(x)ex(1x)当x0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，且g(1)0.所以当x(0,1)时，g(x)0，所以当x(0,1)时，f(x)0.故函数f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1，)(2)由f(x)exaln xe，得f(x)ex.当a0时，f(x)ex0，所以f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)0.(符合题意)当a0时，f(x)ex，当x1，)时，exe.()当a(0，e时，因为x1，)，所以e，f(x)ex0，所以f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)0.(符合题意)()当a(e，)时，存在x01，)，满足f(x0)e0，所以f(x)在1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，故f(x0)0恒成立，f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间；当a0时，令f(x)0，得x0，得xln a，f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(ln a，)(2)令g(x)0，得f(x)0或x，先考虑f(x)在区间0,1上的零点个数，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增且f(0)0，f(x)在0,1上有一个零点；当ae时，f(x)在(，1)上单调递减，f(x)在0,1上有一个零点；当1ae时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a,1)上单调递增，而f(1)ea1，当ea10，即1ae1时，f(x)在0,1上有两个零点，当ea10，即e1ae1或a2(1)时，g(x)在0,1上有两个零点；当10，a1)(1)当ae(e是自然对数的底数)时，求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1，求实数a的取值范围解析：(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.当ae时，f(x)2xex1，在R上是增函数，又f(0)0，f(x)0的解集为(0，)，f(x)1时，ln a0，y(ax1)ln a在R上是增函数，当0a1时，ln a1或0a0)，g(a)120，g(a)a2ln a在(0，)上是增函数而g(1)0，故当a1时，g(a)0，即f(1)f(1)；当0a1时，g(a)0，即f(1)1时，f(x)maxf(x)minf(1)f(0)e1，即aln ae1，函数yaln a在(1，)上是增函数，解得ae；当0a1时，f(x)maxf(x)minf(1)f(0)e1，即ln ae1，函数yln a在(0,1)上是减函数，解得0a.综上可知，实数a的取值范围为e，)
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