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52.1直接证明：分析法与综合法读教材填要点综合法和分析法综合法分析法定义从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法特点从“已知”看“可知”，由因导果，寻找必要条件从“未知”看“需知”，执果索因，寻找充分条件小问题大思维1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件综合法的应用 已知a，b是正数，且ab1，求证：4.自主解答法一：a，bR且ab1，ab2.4.当且仅当ab时，取“”号法二：a，bR，ab20，2 0.(ab)4.又因为ab1，4.当且仅当ab时，取“”号法三：a，bR，且ab1，1122 4.当且仅当ab时，取“”号保持例题条件不变，求证：9.证明：法一：a0，b0，且ab1.4152 549.当且仅当，即a2b时等号成立法二：a0，b0，且ab1.(ab)4152 549.当且仅当，即a2b时等号成立综合法证明问题的步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程1在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2b(bc)，求证：A2B.证明：a2b(bc)，cos A，cos 2B2cos2B1221221，cos Acos 2B.又A，B是三角形的内角，A2B.分析法的应用 当ab0时，求证：(ab)自主解答要证 (ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.因为a2b22ab对一切实数恒成立，所以(ab)成立综上所述，不等式得证分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可(2)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立2已知a6，求证：.证明：法一：要证，只需证()2()22a922a92(a3)(a6)(a5)(a4)1820，因为1820显然成立，所以原不等式成立法二：要证，只需证.a6，a30，a40，a50，a60.又a3a5，同理有，则.综合法与分析法的综合应用 已知ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(ab)1(bc)13(abc)1.自主解答法一：要证(ab)1(bc)13(abc)1，只需证，即证3，化简，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)所以只需证c2a2b2ac.因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60，所以cos B.所以a2c2b2ac，所以原式成立法二：因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60，所以c2a2acb2.两边加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，两边同时除以(ab)(bc)，得1，所以3.即.所以(ab)1(bc)13(abc)1.综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型(2)分析法适用的范围：已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题3(1)设x1，y1，证明：xyxy；(2)设1abbcca.证明法一：(分析法)要证a2b2c2abbcca，只需证2(a2b2c2)2(abbcca)，只需证(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0，只需证(ab)2(bc)2(ca)20，因为a，b，cR，所以(ab)20，(bc)20，(ca)20.又因为a，b，c不全相等，所以(ab)2(bc)2(ca)20.所以原不等式a2b2c2abbcca成立法二：(综合法)因为a，b，cR，所以(ab)20，(bc)20，(ca)20.又因为a，b，c不全相等，所以(ab)2(bc)2(ca)20.所以(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0.所以2(a2b2c2)2(abbcca)所以a2b2c2abbcca.1命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明过程：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”，此过程应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用 D间接证明法解析：结合推理及分析法和综合法的定义可知，B正确答案：B2在ABC中，若sin Bsin Ccos2，则下列等式一定成立的是()AAB BACCBC DABC解析：sin Bsin Ccos2 ，cos(BC)12sin Bsin C，cos Bcos Csin Bsin C12sin Bsin C，cos Bcos Csin Bsin C1，cos(BC)1.又0B，0C，BCbc，且abc0，求证：0Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析：ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案：C4命题“函数f(x)xxln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)x xln x求导得f(x)ln x，当x(0,1)时，f(x)ln x0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法解析：由证明过程可知，该证明方法为综合法答案：综合法5将下面用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab，只需证a2b22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立答案：a2b22ab0(ab)20(ab)206已知x0，y0，且xy1，试分别用综合法与分析法证明：9.证明：法一：(综合法)左边421549.当且仅当xy时等号成立法二：(分析法)要证9成立，x，yR且xy1，y1x.只需证明9成立，即证(1x)(1x1)9x(1x)，即证2xx29x9x2，即证4x24x10，即证(2x1)20，此式显然成立，所以原不等式成立一、选择题1已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是()A若ab，则ac2bc2B若，则abC若a3b3且abD若a2b2且ab0，则解析：对于A：若c0，则A不成立，故A错；对于B：若cb3且ab，故C对；对于D：若则D不成立答案：C2设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8B4C1 D.解析：是3a与3b的等比中项3a3b33ab3ab1，因为a0，b0，所以ab，所以4.答案：B3已知ABC中，cos Acos B0，则必有()A0AB B0ABC.AB D.AB0，得cos Acos B，cos Acos(B)0A，0B，且ycos x在x(0，)上单调递减AB.AB，即0AB2)，q2a24a2(a2)，则p与q的大小关系是_解析：pa22224，当且仅当a3时等号成立a24a22(a2)22，qq8若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_解析：a对任意x0恒成立，设x3(x0)只需a恒成立即可又x35，当且仅当x1时“”成立00，2m10，所以m.
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