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43.1利用导数研究函数的单调性读教材填要点函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系：导函数的正负函数在(a，b)上的单调性f(x)0单调递增f(x)0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立比如yx3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零也就是说f(x)0是yf(x)在某个区间上递增的充分不必要条件2右图为导函数yf(x)的图象，则函数yf(x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(，3，2,1，3，)；单调递减区间：3，2，1,3判断(或证明)函数的单调性 已知函数f(x)ax33x21，讨论函数f(x)的单调性自主解答 由题设知a0.f(x)3ax26x3ax，令f(x)0，得x10，x2.当a0时，若x(，0)，则f(x)0.f(x)在区间(，0)上为增函数若x，则f(x)0，f(x)在区间上是增函数当a0时，若x，则f(x)0.f(x)在区间上为增函数若x(0，)，则f(x)0，即f(x)0.f(x)在(0，)内为增函数当x(，0)时，ex10，即f(x)0，即0，x0，6x210，x.令f(x)0，即0，6x210，0x.f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当a0时，f(x)x21，其单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)当a0(ax2)x0x0x0或x；f(x)0x0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)已知函数的单调性求参数范围 已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围自主解答(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因为h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.即实数a的取值范围是(1，)(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以x1,4时，h(x)ax20恒成立即a恒成立所以aG(x)max.而G(x)21.因为x1,4，所以.所以G(x)max(此时x4)所以a.当a时，h(x)x2.x1,4，h(x)0.即h(x)在1,4上为减函数故实数a的取值范围是.若将本例(2)中“单调递减”改为“单调递增”，如何求a的取值范围？解：h(x)在1,4上单调递增，x1,4时，h(x)ax20恒成立即a 恒成立设G(x)，只需aG(x)min.又G(x)21，x1,4，.G(x)min1，a1.经验证：a1时，h(x)在1,4上单调递增，综上所述，a的取值范围为(，1已知f(x)在区间D上单调，求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法：通常将f(x)0(或f(x)0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围特别地，若f(x)为二次函数，可以由f(x)0(或f(x)0)恒成立求出参数的取值范围3已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1,1上是单调减函数，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由题意当x1,1时，f(x)0恒成立，即x2(22a)x2a0恒成立令g(x)x2(22a)x2a，则有即解得a.答案：C证明：方程xsin x0有唯一解巧思方程f(x)0的解即曲线yf(x)与x轴交点的横坐标，因此可以通过构造函数来解决妙解设f(x)xsin x，当x0时，f(0)0，所以x0是方程xsin x0的一个解因为f(x)1cos x，且xR时，f(x)0总成立，所以函数f(x)在R上单调递增所以曲线f(x)xsin x与x轴只有一个交点所以方程xsin x0有唯一解1函数f(x)x33x21的单调递减区间为()A(2，)B(，2)C(，0) D(0,2)解析：f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得0x0，结合4x4，得4x1或3x4.令f(x)0，结合4x4，得1x3.函数f(x)在4，1)和(3,4上为增函数，在(1,3)上为减函数一、选择题1函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0,1)B(0，)C(1，) D(，0)(1，)解析：函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，解得0x1，所以单调递减区间是(0,1)答案：A2已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(e)f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)f(e)f(3)答案：A3如图为函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，那么函数yf(x)的图象可能为()解析：由导函数yf(x)的图象，可知当1x3时，f(x)3或x0，所以yf(x)在(，1)和(3，)上单调递增综上，函数yf(x)的图象的大致形状如A中图所示，所以选A.答案：A4f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且f(1)0，则f(x)g(x)0的解集为()A(1,0)(1，) B(1,0)(0,1)C(，1)(1，) D(，1)(0,1)解析：令F(x)f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，且当x0时，F(x)0，即F(x)在(，0)上为减函数又f(1)0，即F(1)0.F(x)f(x)g(x)0；当x(1,0)时，f(x)0.故f(x) 在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减答案：(，1)和(0，)(1,0)8已知函数f(x)2x2ln x(a0)若函数f(x)在1,2上为单调函数，则a的取值范围是_解析：f(x)4x，若函数f(x)在1,2上为单调函数，即f(x)4x0或f(x)4x0在1,2上恒成立，即4x或4x在1,2上恒成立令h(x)4x，则h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，又a0，所以0a或a1.答案：1，)三、解答题9已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5，因x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数10已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a1时，证明：当x(1，)时，f(x)20.解：(1)根据题意知，f(x)(x0)，当a0时，则当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)；同理，当af(1)即f(x)2，所以f(x)20.
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