资源描述
导数的热点问题1在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为31(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)(1)求y关于v的函数关系式；(2)若cv15(c0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少(2)y，令y0，得v10，当0v10时，y10时，y0，函数单调递增，当0c10时，函数在(c,10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，当v10时总用氧量最少，当c10时，y在c,15上单调递增，当vc时总用氧量最少综上，若0c0时，f(x)g(x)(1)解因为f(x)1，若a0，则f(x)0在定义域内恒成立，f(x)在(，0)，(0，)上单调递增；若a0，则由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得x0)，h(x)1(x0)，设p(x)x2xa，则由a0知，方程p(x)0的判别式14a0，设p(x)0的正根为x0，xx0a0，p(1)11aa1，又p(0)a0恒成立，F(x)在(1，)上为增函数，又F(1)2020，F(x)0，即h(x)min0，当x(0，)且a0时，f(x)g(x)3已知函数f(x)ln x，g(x)xm(mR)(1)若f(x)g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(2)已知x1，x2是函数F(x)f(x)g(x)的两个零点，且x1x2，求证：x1x20)，则F(x)1(x0)，当x1时，F(x)0，当0x0，所以F(x)在(1，)上单调递减，在(0,1)上单调递增，F(x)在x1处取得最大值1m，若f(x)g(x)恒成立，则1m0，即m1.(2)证明由(1)可知，若函数F(x)f(x)g(x)有两个零点，则m1,0x11x2，要证x1x21，只需证x2F，由F(x1)F(x2)0，mln x1x1，即证lnmlnx1ln x10，令h(x)x2ln x(0x0，故h(x)在(0,1)上单调递增，h(x)h(1)0，所以x1x20得x0，由f(x)0得x0，f(0)10，f(x)有两个零点(2)证明f(x)ex2x，x0是f(x)的极值点，f(0)a10，a1，f(x)(x1)exx2，故要证(x1)exln(x1)x1，令x1t，t0，即证tet1ln tt2(t0)，设h(x)exexln xx2(x0)，即证h(x)0(x0)，h(x)eex(x1)1e(x1)(x0)，令u(x)ex(x0)，u(x)ex0，u(x)在(0，)上单调递增，又u(1)e0，ue0，故u(x)0有唯一的根x0(0,1)，当0xx0时，u(x)0，h(x)x0时，u(x)0，h(x)0，h(x)h(x0)ex0ln x0x02ex0ln x021x01x020.综上得证5已知函数f(x)ln x(其中a0，e2.7)(1)当a1时，求函数f(x)在(1，f(1)点处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间2，)上为增函数，求实数a的取值范围；(3)求证：对于任意大于1的正整数n，都有ln n.(1)解f(x)ln x，f(x)(x0)，f(1)0，f(1)0，f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y0.(3)证明当a1时，f(x)ln x，f(x)，当x1时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数则当x1时，f(x)f(1)0，当n1时，令x1，f(x)lnln0，ln，ln，ln，ln，lnlnln，即ln，ln n，即对于任意大于1的正整数n，都有ln n.6已知函数f(x)ex2ln x，g(x)x2axb(a，bR)(1)若对任意的x(0，)，不等式f(x)x2m2ln x恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对任意的实数a，函数F(x)f(x)g(x)x22ln x在(0，)上总有零点，求实数b的取值范围解(1)对任意的x(0，)，不等式f(x)x2m2ln x恒成立可转化为不等式mexx2在(0，)上恒成立令m(x)exx2，x0，)，则m(x)ex2x，令n(x)m(x)ex2x，则n(x)ex2，故当x(0，ln 2)时，n(x)0，n(x)单调递增从而当x0，)时，n(x)n(ln 2)22ln 20，即m(x)0，所以m(x)在0，)上单调递增，m(x)的最小值是m(0)1，所以m1，即m的取值范围为(，1(2)函数F(x)f(x)g(x)x22ln x在(0，)上总有零点，即F(x)exaxb在(0，)上总有零点若a0，则F(x)exaxb在(0，)上单调递增，故F(x)在(0，)上总有零点的必要条件是F(0)1.以下证明：当b1时，F(x)exaxb在(0，)上总有零点若a0，由于F(0)1b0，且F(x)在(0，)上连续，故F(x)在上必有零点；若a0，F(0)1bx21x2在x(0，)时恒成立，取x0ab0，则F(x0)F(ab)eaba(ab)b(ab)2a2abbabb(b1)0，由于F(0)1b0，故F(x)在(0，ab)上必有零点综上，实数b的取值范围是(1，)7已知x1为函数f(x)(x2ax)ln xx的一个极值点(1)求实数a的值，并讨论函数f(x)的单调性；(2)若方程f(x)mx22x有且只有一个实数根，求实数m的值解(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)(x2ax)(2xa)ln x1x(2xa)ln x(a1)因为x1为函数f(x)的一个极值点，所以f(1)1(2a)ln 1(a1)2a0，解得a2.故f(x)(x22x)ln xx，f(x)x(2x2)ln x1(x1)(12ln x)令f(x)0，解得x11，x2.当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增(2)方程f(x)mx22x，即(x22x)ln xxmx22x，整理得(x22x)ln xxmx2.因为x0，所以m.令g(x)ln x，则g(x)ln x.令h(x)2ln xx1，则h(x)10恒成立，所以函数h(x)在(0，)上单调递增又h(1)0，所以当x(0,1)时，h(x)0，即g(x)0，即g(x)0，g(x)单调递增所以g(x)的最小值为g(1)10，当x0或x时，g(x)，所以当f(x)mx22x有且只有一个实数根时，m1.8.已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函数(1)若0a1，证明：函数G(x)f(1x)g(x)在区间(0,1)上是增函数；(2)证明：in 0，m0恒成立，求满足条件的最小整数b的值 (1)证明由题意知G(x)asin(1x)ln x，G(x)acos(1x)(x0)，当x(0,1)，01,0cos(1x)1，acos(1x)0，故函数G(x)在区间(0,1)上是增函数(2)证明由(1)知，当a1时，G(x)sin(1x)ln x在(0,1)上单调递增sin(1x)ln xG(1)0，sin(1x)ln(0x1)令1x，所以x.sinsinlnlnln，in，ln 2ln x2x02x02，又mx02，x0(0，ln 2)恒成立，令m(x)exx2，x(0，ln 2)，则m(x)(x1)ex1，令n(x)(x1)ex1，则n(x)xex0，m(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)m(0)0，m(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)m(ln 2)2ln 2，b2ln 2，又b为整数，最小整数b的值为2.
展开阅读全文