2019-2020年高考数学一模试卷（理科）含解析 (III).doc

2019-2020年高考数学一模试卷（理科）含解析 (III)一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，集合A=1，1，B=1，4，则A（UB）=（）A1，1B1C1D2已知数据x1，x2，x3，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3，x50，500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A平均数增大，中位数一定变大B平均数增大，中位数可能不变C平均数可能不变，中位数可能不变D平均数可能不变，中位数可能变小3设随机变量服从正态分布N（1，2），则函数f（x）=x2+2x+不存在零点的概率为（）ABCD4已知aR，则“a1”是“|x2|+|x|a恒成立”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5定义min，则由函数f（x）的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）ABCD6已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，F1F2P=120，则双曲线的离心率为（）ABCD7如图所示的程序框图，输出S的值为（）ABCD8已知x，yR，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A10B8C6D39如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为（）A1：2B1：8C1：6D1：310已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）Ak2Bk4C0k2D0k4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知i是虚数单位，m，nR，且m+2i=2ni，则的共轭复数为_12二项式的展开式中，常数项等于_（用数字作答）13已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）是偶函数，它的部分图象如图所示M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且KLM为等腰直角三角形，则f（x）=_14若a0，b0，则的最小值是_15定义在区间x1，x2上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数满足x=x1+（1）x2，此时向量若|K恒成立，则称函数y=f（x）在区间x1，x2上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数已知函数f（x）=x22x在区间1，2上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是_三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=sin2wxsin2（wx）（xR，w为常数且w1），函数f（x）的图象关于直线x=对称（I）求函数f（x）的最小正周期；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=求ABC面积的最大值17为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时（）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量求的分布列与数学期望E（）18如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点（）设面PAB面PCD=l，求证：CDl；（）求二面角BCED的余弦值19已知等差数列an的公差d=2，其前n项和为Sn，数列an的首项b1=2，其前n项和为Tn，满足（）求数列an、bn的通项公式；（）求数列|anbn14|的前n项和Wn20已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q（1）若MAB垂心的纵坐标为4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由21已知函数f（x）=sinxax（）对于x（0，1），f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=1时，令h（x）=f（x）sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（）求证：xx年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，集合A=1，1，B=1，4，则A（UB）=（）A1，1B1C1D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出全集中y的值确定出U，再由B利用补集的定义求出B的补集，找出A与B补集的交集即可【解答】解：由全集U中y=log2x，x=，1，2，16，得到y=1，0，1，4，即全集U=1，0，1，4，A=1，1，B=1，4，UB=1，0，则A（UB）=1，故选：B2已知数据x1，x2，x3，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3，x50，500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A平均数增大，中位数一定变大B平均数增大，中位数可能不变C平均数可能不变，中位数可能不变D平均数可能不变，中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论【解答】解：根据题意得，数据x1，x2，x3，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等故选：B3设随机变量服从正态分布N（1，2），则函数f（x）=x2+2x+不存在零点的概率为（）ABCD【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数的零点；古典概型及其概率计算公式【分析】函数f（x）=x2+2x+不存在零点，可得1，根据随机变量服从正态分布N（1，2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论【解答】解：函数f（x）=x2+2x+不存在零点，=440，1随机变量服从正态分布N（1，2），曲线关于直线x=1对称P（1）=故选C4已知aR，则“a1”是“|x2|+|x|a恒成立”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】要判断“a1”是“|x2|+|x|a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断【解答】解：函数y=|x2|+|x|的值域为2，+）则当a1时，|x2|+|x|a恒成立反之若，|x2|+|x|a，则说明a小于函数y=|x2|+|x|的最小值2恒成立，即a2故“a1”是“|x2|+|x|a恒成立”的充分不必要条件故选：A5定义min，则由函数f（x）的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）ABCD【考点】定积分在求面积中的应用【分析】根据题目给出的函数定义，写出分段函数f（x）=minx2， ，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积【解答】解：由=x2，得：x=1，又当x0时，x2，所以，根据新定义有f（x）=minx2， =，图象如图，所以，由函数f（x）的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分，其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2，故选：C6已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，F1F2P=120，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】运用余弦定理可得|PF1|=2c，再由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a，即为2c2c=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2c，PF2F1=120，即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2F1=4c2+4c224c2（）=12c2，即有|PF1|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a，即为2c2c=2a，即有c=a，可得e=故选：A7如图所示的程序框图，输出S的值为（）ABCD【考点】程序框图【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求2ncosn的和，n从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解【解答】解：通过分析知该算法是求和2cos+22cos2+23cos3+2100cos100，由于2cos+22cos2+23cos3+2100cos100=2+2223+24+2100=故选：C8已知x，yR，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A10B8C6D3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=xz经过点A时，z取得最大值，此时z最大即A（2，2），代入目标函数z=|x+2y|得z=22+2=6故选：C9如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为（）A1：2B1：8C1：6D1：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据两个棱锥的底面和高与棱锥PABC的底面与高的关系得出两棱锥的体积与棱锥PABC的关系，得出答案【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，SABC=SACDVDPAC=VPACD=VPABCNB=2PN，NB=PB，VNABC=VPABC，VNPAC=VPABCVNABC=VPABC故选：D10已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）Ak2Bk4C0k2D0k4【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意可得设A（2，k），B（2，k），P（m，），运用向量的数量积的坐标表示，由换元法可得二次方程，由判别式大于等于0和两根非负的条件，运用韦达定理，解不等式即可得到所求范围【解答】解：由y=k（k0），代入抛物线x2=4y，可得x=2，可设A（2，k），B（2，k），P（m，），由，可得（2m，k）（2m，k）=0，即为（2m）（2m）+（k）2=0，化为m4+m2（1）+k24k=0，可令t=m2（t0），则t2+t（1）+k24k=0，可得=（1）2（k24k）0，即10恒成立，由韦达定理可得（1）0，k24k0，解得k4故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知i是虚数单位，m，nR，且m+2i=2ni，则的共轭复数为i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式【解答】解：m，nR，且m+2i=2ni，可得m=2，n=2，=i它的共轭复数为i故答案为：i12二项式的展开式中，常数项等于1215（用数字作答）【考点】二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：展开式的通项公式为，由63k=0得k=2，所以常数项为，故答案为121513已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）是偶函数，它的部分图象如图所示M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且KLM为等腰直角三角形，则f（x）=cosx【考点】正弦函数的图象【分析】由函数的最值求出A，由函数的奇偶性求出的值，由周期求出，可得函数的解析式【解答】解：由题意可得A=，=2k+，kZ，再结合0，可得=，函数f（x）=sin（x+）=cosx再根据=，可得=，函数f（x）=cosx，故答案为： cosx14若a0，b0，则的最小值是2+3【考点】基本不等式【分析】化简可得=+3，从而利用基本不等式求解即可【解答】解：=2+1=+32+3，（当且仅当=，即a=b时，等号成立）；故答案为：2+315定义在区间x1，x2上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数满足x=x1+（1）x2，此时向量若|K恒成立，则称函数y=f（x）在区间x1，x2上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数已知函数f（x）=x22x在区间1，2上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】yNyM=f（x1）+（1）f（x2）+2x1+（1）x2=，由题意可得： =|yNyM|=|（1）|，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：yNyM=f（x1）+（1）f（x2）+2x1+（1）x2=+2x1+（1）x2=，|x1x2|12|=1，由题意可得： =|yNyM|=|（1）|=，由于|K恒成立，K的最小值为故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=sin2wxsin2（wx）（xR，w为常数且w1），函数f（x）的图象关于直线x=对称（I）求函数f（x）的最小正周期；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=求ABC面积的最大值【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）化简f（x），根据对称轴求出，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式得出面积的最大值【解答】解：（I）f（x）=cos2xcos（2x）= cos（2x）cos2x=cos2x+sin2x=sin（2x）令2x=+k，解得x=f（x）的对称轴为x=，令=解得=w1，当k=1时，=f（x）=sin（x）f（x）的最小正周期T=（2）f（）=sin（A）=，sin（A）=A=由余弦定理得cosA=b2+c2=bc+12bc，bc1SABC=ABC面积的最大值是17为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时（）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量求的分布列与数学期望E（）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得的分布列与数学期望【解答】解：（）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元都付0元的概率为P1=，都付40元的概率为P2=，都付80元的概率为P3=（1）（1）=，故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=（）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和的可能取值为0，40，80，120，160，P（=0）=，P（=40）=，P（=80）=+=，P（=120）=+=，P（=160）=（1）（1）=，的分布列为： 0 40 80 120 160 P数学期望E（）=+=8018如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点（）设面PAB面PCD=l，求证：CDl；（）求二面角BCED的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征【分析】（）根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CDl；（）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可【解答】证明：（）取CD的中点H，ACAD，ABBC，BCA=45，AP=AD=AC=2，AHCD，CAH=CAB=45，即BAH=90，即四边形ABCH是矩形，则ABCH，ABCDCD面PAB，AB面PAB，CD面PAB，CD面PCD，面PAB面PCD=l，根据线面平行的性质得CDl（）AC=2，AB=BC=AH=，DH=，建立以A为原点，AH，AB，AP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（0，0），C（，0），P（0，0，2），E（0，0，1），D（，0），=（，1），=（，0，0），=（0，2，0）设平面BPC的一个法向量为=（x，y，z），则，则x=0，令y=，则z=2，即=（0，2），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则y=0，令x=，则z=2，=（，0，2），则cos，=，即二面角BCED的余弦值是19已知等差数列an的公差d=2，其前n项和为Sn，数列an的首项b1=2，其前n项和为Tn，满足（）求数列an、bn的通项公式；（）求数列|anbn14|的前n项和Wn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（I）由，可得=T1+2=22，解得a1利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得an，Sn可得2n+1=Tn+2，利用递推关系可得bn（II）令cn=anbn14=（2n1）2n14可得：c1=12，c2=2，n3，cn0n3，Wn=c1+c2+cn2c12c2Wn=12+322+（2n1）2n14n+28，令Qn=12+322+（2n1）2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（I），=T1+2=2+2=4=22，+1=2，解得a1=1an=1+（n1）2=2n1Sn=n22n+1=Tn+2，当n2时，2n+12n=Tn+2（Tn1+2）=bn，bn=2n，当n=1时也成立bn=2n（II）令cn=anbn14=（2n1）2n14c1=12，c2=2，n3，cn0n3，Wn=c1c2+c3+cn=c1+c2+cn2c12c2Wn=12+322+（2n1）2n14n+28，令Qn=12+322+（2n1）2n，2Qn=122+323+（2n3）2n+（2n1）2n+1，Qn=2（2+22+2n）2（2n1）2n+1=22（2n1）2n+1=（32n）2n+16，Qn=（2n3）2n+1+6Wn=20已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q（1）若MAB垂心的纵坐标为4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设M（4，m），由A（2，0），B（2，0），垂心H（4，4），由BHMA，运用直线斜率公式和斜率之积为1，可得m，再由直线MA与椭圆求得交点P；（2）设M（4，m），由A（2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，运用韦达定理，解得P的坐标；同理求得Q的坐标，运用直线的斜率公式可得PQ的斜率，由点斜式方程可得PQ的方程，再由恒过定点思想，即可得到所求定点【解答】解：（1）设M（4，m），由A（2，0），B（2，0），垂心H（4，4），由BHMA，可得kBHkMA=1，即有=1，可得m=，由MA的方程：y=（x+2），代入椭圆方程，可得8x2+4x48=0，解得x=2，或，即有P（，）；（2）设M（4，m），由A（2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，可得（36+m2）x2+4m2x+8m2288=0，由2xP=，可得xP=，yP=（xP+2）=；又MB：y=（x2），代入椭圆方程，可得（4+m2）x24m2x+8m232=0，由2+xQ=，可得xQ=，yQ=（xQ2）=，即有直线PQ的斜率为k=，则直线PQ：y=（x），化简即有y=（x1），由x1=0，解得x=，y=0故直线PQ恒过定点（，0）21已知函数f（x）=sinxax（）对于x（0，1），f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=1时，令h（x）=f（x）sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（）求证：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a的范围即可；（）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出h（x）的单调区间，从而求出h（x）的最大值即可；（）构造函数f（x）=ln（1+x）x，利用导数法可证得ln（1+x）x（当x0时，ln（1+x）x），令x=，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立【解答】解：（）f（x）=sinxax，f（x）=cosxa，若对于x（0，1），f（x）0恒成立，即acosx在（0，1）恒成立，故a0；（）a=1时，h（x）=lnxx+1，（x0），h（x）=1=，令h（x）0，解得：0x1，令h（x）0，解得：x1，h（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，h（x）的最大值是h（1）=0；证明：（）构造函数g（x）=ln（1+x）x，则g（x）=1=，当1x0时，g（x）0，g（x）在（1，0）上单调递增；当x0时，g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递减；所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）g（0）=0，即ln（1+x）x，当x0时，ln（1+x）x令x=，则ln（1+）=ln（n+1）lnn，即ln（n+1）lnn，ln2ln11，ln3ln2，lnnln（n1），ln（n+1）lnn，以上n个不等式相加得：ln（n+1）ln11+，即xx年9月9日