高等数学上同济大学第六版.ppt

考试说明 本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式 考核成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成 考核成绩满分为100分 60分为及格 其中形成性考核作业成绩占考核成绩的20 期末考试成绩占考核成绩的80 期末考试采用闭卷笔试形式 卷面满分为100分 考核内容和考核要求 考核内容一元函数微分学 一元函数积分学 无穷级数和常微分方程四个部分 包括函数 极限与连续 导数与微分 导数的应用 不定积分 定积分及其应用 无穷级数 常微分方程等方面的知识 高等数学期末考试 考试题型 单选题5个 约15 填空题5个 约15 计算题6个 应用题1个 考试时间 90分钟命题原则不超过期末复习指导的要求 试题主要分布在第二 三 四 五 六 八章 占80 以上 理解占10 掌握占90 题型有 填空题单项选择题计算题 约70 出题单位中央广播电视大学考试形式闭卷 高等数学期末复习 第一章函数 理解函数概念 掌握函数的两要素 定义域和对应关系 会判断两函数是否相同 掌握求函数定义域的方法 会求初等函数的定义域和函数值 了解函数的主要性质 单调性 奇偶性 周期性和有界性 知道它们的几何特点 熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式 定义域 主要性质和图形 了解复合函数概念 会对复合函数进行分解 了解初等函数的概念 了解分段函数概念 掌握求分段函数定义域和函数值的方法 会列简单应用问题的函数关系式 高等数学期末复习 第二章极限与连续 了解极限的概念 数列极限 函数极限 左右极限 知道数列极限的 定义和函数极限的描述性定义 会求左右极限 了解无穷小量的概念 了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系 掌握极限的四则运算法则 掌握两个重要极限 掌握求简单极限的常用方法 了解函数连续性的定义 了解函数在某点连续的概念 知道左连续和右连续的概念 会判断函数在某点的连续性 了解函数间断点的概念 会求函数的间断点 会判别函数间断点的类型 了解 初等函数在定义区间内连续 的结论 知道闭区间上的连续函数的几个性质 高等数学期末复习 第三章导数与微分 理解导数与微分概念 微分用定义 了解导数的几何意义 会求曲线的切线和法线方程 知道可导与连续的关系 熟记导数与微分的基本公式 熟练掌握导数与微分的四则运算法则 熟练掌握复合函数的求导法则 掌握隐函数的微分法 取对数求导数的方法 知道一阶微分形式的不变性 了解高阶导数概念 掌握求显函数的二阶导数的方法 高等数学期末复习 第四章导数的应用 了解拉格朗日中值定理的条件和结论 会用拉格朗日定理证明简单的不等式 掌握洛比塔法则 能用它求 型不定式极限 掌握用一阶导数求函数单调区间 极值与极值点 包括判别 的方法 了解可导函数极值存在的必要条件 知道极值点与驻点的区别与联系 掌握用二阶导数求曲线凹凸 包括判别 的方法 会求曲线的拐点 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法 以几何问题为主 高等数学期末复习 第五章不定积分 理解原函数与不定积分概念 了解不定积分的性质以及积分与导数 微分 的关系 熟练掌握积分基本公式和直接积分法 熟练掌握第一换元积分法和分部积分法 掌握第二换元积分法 高等数学期末复习 第六章积分及其应用 了解定积分概念 定义 几何意义 和定积分的性质 了解原函数存在定理 知道变上限的定积分 会求变上限定积分的导数 熟练掌握牛顿 莱布尼兹公式 掌握定积分的换元积分法和分部积分法 了解无穷积分收敛性概念 会判断无穷积分的收敛性或计算无穷积分 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积 直角坐标系 和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积 高等数学期末复习 第七章无穷级数 了解级数收敛与发散概念及其主要性质 了解级数收敛的必要条件 掌握正项级数收敛性的比值判别法 知道几何级数和级数收敛的条件 理解幂级数收敛半径概念 熟练掌握求收敛半径的方法 会求收敛区间 高等数学期末复习 第八章常微分方程 了解微分方程 阶 解 特解 通解 线性 初值问题等概念 掌握变量可分离微分方程的解法 熟练掌握一阶线性方程的解法 了解特征方程和特征根概念 熟练掌握求二阶线性常系数齐次微分方程通解的特征根法 掌握二阶线性常系数非齐次方程 特殊自由项 的特解待定系数法 能求此类方程的通解 高等数学期复习 第一章 函数 理解函数的概念 掌握函数 中符号f 的含义 了解函数的两要素 会求函数的定义域及函数值 会判断两个函数是否相等 两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同 了解函数的主要性质 即单调性 奇偶性 有界性和周期性 若对任意x 有 则称为偶函数 偶函数的图形关于y轴对称 若对任意x 有 则称为奇函数 奇函数的图形关于原点对称 熟练掌握基本初等函数的解析表达式 定义域 主要性质和图形 基本初等函数指以下几种类型 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 了解复合函数 初等函数的概念 会把一个复合函数分解成较简单的函数 如函数 可以分解 分解后的函数前三个都是基本初等函数 而第四个函数是常数函数和幂函数的乘积 会列简单的应用问题的函数关系式 高等数学1 综合练习 一 填空题 设 则 解 设 则 得 故 函数 的定义域是 解 对函数的第一项 要求 且 即 且 对函数的第二项 要求 即 取公共部分 得函数定义域为 高等数学1 设 的定义域为 则函数 的图形关于对称 解 设 则对任意 有 即 是偶函数 故图形关于 轴对称 高等数学1 二 单项选择题 下列各对函数中 是相同的 A B C D 解 A B D三个选项中的每对函数的定义域都不同 而选项C中的函数定义域相等 且对应关系相同 故选项C正确 设函数 的定义域为 则函数 对称 的图形关 于 A B 轴 C 轴 D 坐标原点 解 设 则对任意 有 高等数学1 即 是奇函数 故图形关于原点对称 选项D正确 3 设函数 的定义域是全体实数 则函数 是 A 单调减函数 B 有界函数 C 偶函数 D 周期函数 解 A B D三个选项都不一定满足 设 则对任意 有 即 是偶函数 故选项C正确 高等数学1 三 计算题 求下列函数的定义域 解 对 要求 即 对 要求 且 即 且 取公共部分 得函数定义域为 对 要求 即 得函数定义域为 对 要求 即 得函数定义域为 已知 求 解 方法一 设 则 得 即 由此得 方法二 将 看作新的变量 得 同理 高等数学1 高等数学1 判断下列函数的奇偶性 解 对任意 有 可知 是奇函数 解 对任意 有 可知 是奇函数 解 对任意 有 可知 是偶函数 高等数学1 本章重点 函数概念及其性质 理解函数的概念 了解决定函数的要素是定义域和对应关系 能根据这两个要素 判别两个函数是否相等 能熟练地求出函数的定义域和函数值 了解函数的周期性 奇偶性 单调性 和有界性 特别是要会判断函数的奇偶性 例1 求下列函数的定义域 1 解 函数的定义域是 解得 即函数的定义域是 且 高等数学1 2 解 分段函数的定义域是所有定义区间的并集 此分段函数的定义域是 或 但 的定义域是 故综合起来可知所求函数的定义域是 例2 若函数 求 解 已知 即 根据函数概念可知 即下划线的部分替换成x 即下划线的部分替换成 即下划线的部分替换成0 高等数学1 规范以上的做法就是 设 则 将 代入 中 即有 令 则有 令 则有 令 则有 例3 1 下列函数对中 哪一对函数表示的是同一个函数 A B C D 解 A B D中两个函数的定义域都不相同 故它们不是同一函数 高等数学1 C中函数 的定义域是 对应关系可化为 故这两个函数是相同的函数 2 下列函数中 哪个函数是奇函数 A B C D 解 由奇函数的定义验证A C可知它们都不满足 D满足 即它为偶函数 验证B 故此函数是奇函数 高等数学1 2 基本初等函数 了解复合函数 初等函数的概念 会分析复合函数的复合过程 能把一个复合函数分解成几个简单函数 这在学习第三章导数与微分内容时要用到 如将函数 分解成 高等数学1 第2章极限与连续 本章重点 极限的计算 了解极限的概念 知道左右极限的概念 知道函数在点 处存在极限的充分必要 条件是 在 处的左右极限存在且相等 关于极限的计算 要熟练掌握以下几种常用方法 1 极限的四则运算法则 运用时要注意法则的条件是各个部分的极限都存在 且分母不为0 当所求极限不满足条件时 常根据函数的具体情况进行分解因式 以消去 零因子 或无理式的有理化 或三角函数变换 或分子分母同时除以 分子分母同 趋于无穷大时 等变形手段 以使函数满足四则运算法则的条件 2 两个重要极限 熟记 要注意这两个公式自变量的 变化趋势以及相应的函数表达 同时要熟悉它们的变形形式 高等数学1 3 利用无穷小的性质计算 无穷小量是指极限为0的量 有限个无穷小量之和 积都是无穷小量 有界变量与无穷小量之和还是无穷小量 4 利用函数的连续性计算 连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值 5 利用洛必塔法则计算 参看第四章的有关内容 例1 求下列极限 解 1 分子 分母同除以 则 高等数学1 2 解 首先将分母有理化 然后在利用重要极限计算 3 解 由于 时 有 因此 还是无穷小量 故 高等数学1 4 解 5 解 6 解 高等数学1 2 函数连续 理解函数在一点连续的概念 它包括三层含义 在 的一个邻域内有定义 在 处存在极限 极限值等于 在 处的函数值 这三点缺一不可 若函数 在 至少有一条不满足上述三条 则函数在该点是间断的 会求函数的间断 点 了解函数在区间上连续的概念 由函数在一点连续的定义 会讨论分段函数的连续性 知道连续函数的和 差 积 商 分母不为0 仍是连续函数 两个连续函数的复合仍为 连续函数 初等函数在其定义域内是连续函数 知道闭区间上连续函数的性质 最大最 小值存在定理 零点定理 介值定理 例2 讨论函数 在 处的连续性 高等数学1 解 的定义域为 由于 在 点处的左右极限不相等 故极限不存在 因此函数 在 点间断 第三章 导数与微分 高等数学1 理解导数的概念 了解导数的几何意义 会求曲线的切线和法线 会用定义计算简单函数的导数 知道可导与连续的关系 高等数学1 在点 处可导是指极限 存在 且该点处的导数就是这个极限 导数极限还可写成 在点 处的导数 的几何意义是曲线 上点 处的切线斜率 曲线 在点 处的切线方程为 高等数学1 函数 在 点可导 则在 点连续 反之函数 在 点连续 在 点不一定可导 了解微分的概念 知道一阶微分形式不变性 熟记导数与微分的基本公式 熟练掌握导数与微分的四则运算法则 微分四则运算法则与导数四则运算法则类似 熟练掌握复合函数的求导法则 高等数学1 掌握隐函数求导法 取对数求导法 参数表示的函数的求导法 一般当函数表达式中有乘除关系或根式时 求导时采用取对数求导法 如 求 直接求导比较麻烦 采用取对数求导法 将上式两端取对数得 两端求导得 整理后便可得 高等数学1 若函数由参数方程 的形式给出 则有导数公式 了解高阶导数的概念 会求函数的二阶导数 高等数学1 综合练习 一 填空题 设 则 解 故 曲线 在 处的切线方程是 解 又有 故切线方程为 或 高等数学1 设 则 解 故 二 单项选择题 曲线 在点 处的切线斜率等于0 A B C D 解 令 得 而 故选项C正确 高等数学1 则 A B C D 解 故选项C正确 3 下列等式中正确的是 A B C D 解 按微分法则进行运算得 高等数学1 故选项A正确 高等数学1 三 计算题 计算下列函数的导数或微分 设 求 解 由导数四则运算法则和复合函数求导法则 由此得 高等数学1 设函数 由方程 确定 求 解 等式两端对 求导得 整理得 方法二 由一阶微分形式不变性和微分法则 原式两端求微分得 左端 右端 由此得 整理得 高等数学1 设函数 由参数方程 确定 求 解 由参数求导法 求下列函数的二阶导数 3 解 解 高等数学1 第4章 导数的应用 了解拉格朗日中值定理的条件和结论 会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式 掌握洛必塔法则 会用它求 型不定式的极限 以及简单的 型不定式的极限 掌握用一阶导数判别函数增减性的方法 会求函数的单调区间 若在区间 上有 则 在区间 上单调增加 若在区间 上有 则 在区间 上单调减少 高等数学1 了解极值和极值点的概念 熟练掌握求极值的方法 了解可导函数极值存在的必要条件 知道极值点与驻点的区别与联系 在点 满足 那么 若 在点 的左右由正变负 或 则点 是 的极大值点 若 是 在点 的左右由负变正 或 则点 的极小值点 极值点如果可导则一定是驻点 驻点的两边导数如果变号则一定是极值点 了解曲线凹凸的概念 掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法 会求曲线的拐点 若在区间 上有 则 在区间 上是凹函数 若在区间 上有 则 在区间 上是凸函数 高等数学1 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线 若 则 是曲线 的水平渐进线 若 则 是曲线 的垂直渐进线 熟练掌握求解一些简单的实际应用问题中最大值和最小值的方法 以几何问题为主 求 在区间 上的最大值的方法是 找出 的所有驻点 找出 的所有不可导点 将所有这些点的函数值与两个端点的函数值 一起比较大小 最大者为最大值 相应的点为最大值点 求最小值的方法类似 高等数学1 综合练习 一 填空题 函数 的单调增加区间是 解 当 时 故函数的单调增加区间是 曲线 的凸区间是 解 当 时 故函数的凸区间是 高等数学1 二 单项选择题 函数 在区间 内满足 A 单调上升 B 先单调下降再单调上升 C 先单调上升再单调下降 D 单调下降 解 令 得 在 点的左右有负变正 即函数先单调下降再单调上升 故选项B正确 曲线 的垂直渐近线是 A B C D 解 当 时 垂直渐进线是 故选项D正确 高等数学1 3 下列等式中正确的是 A B C D 解 按微分法则进行运算得 故选项A正确 高等数学1 三 计算题 计算下列函数的导数或微分 设 求 解 由导数四则运算法则和复合函数求导法则 由此得 设函数 由方程 确定 求 解 方法一 等式两端对 求导得 高等数学1 整理得 方法二 由一阶微分形式不变性和微分法则 原式两端求微分得 左端 右端 由此得 整理得 高等数学1 设函数 由参数方程 确定 求 解 由参数求导法 高等数学1 求下列函数的二阶导数 解 解 高等数学1 第4章 导数的应用 了解拉格朗日中值定理的条件和结论 会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式 掌握洛必塔法则 会用它求 型不定式的极限 以及简单的 型不定式的极限 掌握用一阶导数判别函数增减性的方法 会求函数的单调区间 若在区间 上有 则 在区间 上单调增加 若在区间 上有 则 在区间 上单调减少 了解极值和极值点的概念 熟练掌握求极值的方法 了解可导函数极值 存在的必要条件 知道极值点与驻点的区别与联系 高等数学1 在点 满足 那么 若 在点 的左右由正变负 或 则点 是 的极大值点 若 在点 的左右由负变正 或 则点 是 的极小值点 极值点如果可导则一定是驻点 驻点的两边导数如果变号则一定是极值点 了解曲线凹凸的概念 掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法 会求曲线的拐点 若在区间 上有 则 在区间 上是凹函数 若在区间 上有 则 在区间 上是凸函数 高等数学1 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线 若 则 是曲线 的水平渐进线 若 则 是曲线 的垂直渐进线 熟练掌握求解一些简单的实际应用问题中最大值和最小值的方法 求 在区间 上的最大值的方法是 找出 的所有驻点 找出 的所有不可导点 将所有这些点的函数值与两个端点的函数值 一起比较大小 最大者为最大值 相应的点为最大值点 求最小值的方法类似 高等数学1 综合练习 一 填空题 函数 的单调增加区间是 解 当 时 故函数的单调增加区间是 曲线 的凸区间是 解 当 时 故函数的凸区间是 二 单项选择题 函数 在区间 内满足 A 单调上升 B 先单调下降再单调上升 C 先单调上升再单调下降 D 单调下降 高等数学1 解 令 得 在 点的左右有负变正 即函数先单调下降再单调上升 故选项B正确 曲线 的垂直渐近线是 解 当 时 垂直渐进线是 故选项D正确 3 下列结论中 是正确的 A 函数的极值点一定是驻点 B 函数的驻点一定是极值点 C 函数在极值点一定连续 D 函数的极值点不一定可导 解 函数的极值点不一定是驻点 函数的驻点不一定是极值点 函数在极值点 不一定连续 在 取极小值但不可导 故选项D正确 高等数学1 三 计算题 求函数 的单调区间 凹凸区间 极值点和拐点 解 令 得 当 或 时 当 时 故题给函数的单调增加区间是 和 单调减少区间是 是极小值点 是极大值点 令 得 当 时 当 时 故题给函数的凸区间是 凹区间是 是拐点 高等数学1 应用题 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l 问当底半径与高分别为多少时 圆柱体的体积最大 解 如图所示 圆柱体高 与底半径 满足 圆柱体的体积公式为 将 代入得 求导得 令 得 并由此解出 即当底半径 高 时 圆柱体的体积最大 高等数学1 求曲线 上的点 使其到点 的距离最短 解 曲线 上的点到点 的距离公式为 与 在同一点取到最大值 为计算方便求 的最大值点 将 代入得 求导得 令 得 并由此解出 即曲线 上的点 和点 到点 的距离最短 高等数学1 关于积分概念的理解和积分计算问题分析 一 原函数与不定积分 已知函数 在某区间上有定义 如果存在函数 使得在该区间上的任一点处 都有关系式 成立 则称函数 是函数 在该区间上的一个原函数 设函数 是函数 的一个原函数 则 的全体原函数 C为任意常数 称为 的不定积分 记为 性质 1 2 高等数学1 二 不定积分的基本公式及运算性质 高等数学1 三 换元积分法 已知 则 凑微分法 高等数学1 第二换元积分分法 高等数学1 分部积分法 高等数学1 四 曲边梯形的面积与定积分 定积分的性质 高等数学1 高等数学1 连续函数原函数存在定理 若 在 a b 上连续 则函数 在 a b 上可积 且 即 是 在 a b 上的一个原函数 微积分基本定理 设 在 a b 上连续 是 的任一原函数 则 高等数学1 高等数学1 换元积分法和分部积分法 1 换元积分法 设 在 上连续 且 在 连续可导 则 应用该方法要注意换积分限的正确性 分被积函数含 一次根式 二次根式 指数 对数的情况讲解等 奇偶连续函数在闭区间上积分的特征 高等数学1 高等数学1 2 分部积分法 设 在区间 上连续可导 则 分被积函数为 多项式 三角函数 多项式 指数 多项式 对数 含绝对值 符号等讲解 高等数学1 第7章 级数 了解无穷级数的部分和 收敛和发散的概念 知道级数的主要性质 特别是级数收敛的必要条件 级数的主要性质 若 和 收敛 则 收敛 且 若 收敛 为常数 则 收敛 且 级数收敛的必要条件 若 收敛 则 掌握正项级数收敛的比值判别法和判别交错级数收敛的莱布尼茨判别法 熟悉几何级数和p 级数的收敛性 高等数学1 几何级数 当 时收敛 当 时发散 p 级数 当 时收敛 当 时发散 了解幂级数的收敛点 发散点 收敛区间和收敛域的概念 能熟练地求幂级数 的收敛半径 会求幂级数的收敛区间和收敛域 知道函数的泰勒级数和马克劳林级数 记住 和 的马克劳林级数 另外还应熟悉正项级数的比较判别法 即设两个正项级数 和 满足 那么有 若 收敛 则 收敛 若 发散 则 发散 高等数学1 综合练习 一 填空题 当 时 几何级数 收敛 解 由几何级数的性质可知 当 时 收敛 级数 是级数 解 级数 收敛 级数 发散 由级数的性质可知 是发散级数 高等数学1 二 单项选择题 下列级数中 收敛 A B C D 解 由 级数的收敛性可知 A B选项中的级数发散 C选项中的级数一般项 不趋于0 由收敛的必要条件知其发散 满足莱布尼茨判别法的条件 所以收 敛 故选项D 级数 的和是 A B 2 C D 1 高等数学1 解 由级数的性质可得 故选项A正确 3 若 则 A B C D 解 由此得 即 故选项A正确 三 计算题 高等数学1 判断下列级数的收敛性 解 因为 由 级数的收敛性可知 收敛 题给级数是莱布尼茨型级数 单调下降且 由莱布尼茨判别法可知 收敛 高等数学1 求幂级数 的收敛半径 解 设 原级数写为 由此可知幂级数 的收敛半径为4 所以题给幂级数的收敛半径为2 高等数学1 2 求幂级数 的收敛域 解 由 由此可知题给幂级数的收敛半径为3 收敛区间为 当 时 级数 收敛 当 时 级数 发散 故题给幂级数的收敛域为 高等数学1 第8章 常微分方程 了解微分方程及其阶 解的概念 知道什么是线性微分方程 熟练掌握可分离变量的微分方程的解法 掌握齐次型方程的解法 知道线性微分方程解的结构 熟练掌握一阶线性微分方程的解法 一阶线性微分方程 的解法 先求齐次方程 的通解 再用常数变易法求非齐次方程的通解 也可直接利用公式求解 熟练掌握二阶线性常系数微分方程的解法 高等数学1 二阶线性常系数微分方程 的解法 先用特征根法求齐次方程 的通解 再用待定系数法求非齐次方程的一个特解 两者相加便得到非齐次方程的通解 高等数学1 综合练习 一 填空题 微分方程 的阶数是 解 微分方程的阶数就是最高阶导数的阶数 故此方程的阶数是4 4 微分方程 的通解是 解 的解是 故微分方程的通解为 高等数学1 二 单项选择题 微分方程 满足 的特解是 A B C D 解 所有选项中的函数都满足初始条件 但A C D选项中的函数不满足微分 方程 B选项中的函数满足微分方程 故选项B正确 B 下列微分方程中 是线性微分方程 A B C D 解 A B D三个选项中的微分方程都不是线性微分方程 故选项C正确 C 高等数学1 三 计算题 求解下列微分方程 求微分方程 的通解 解 方程为可分离变量微分方程 上式两端积分得 即 其中 为任意常数 高等数学1 求微分方程 满足 的特解 解 方程为齐次一阶线性微分方程 可分离变量 上式两端积分得 即 其中 为任意常数 将 代入上式 得 满足初始条件的特解为 高等数学1 求解下列微分方程 求微分方程 解 的通解 方程的特征方程为 解出 齐次微分方程的通解为 其中 为任意常数 因为是二重根 故设题给方程的一个特解为 得 代入题给方程得 即 得 由此得题给方程的通解为 高等数学1 求微分方程 的通解 解 方程的特征方程为 解出 齐次微分方程的通解为 其中 为任意常数 设方程的一个特解为 得 代入题给方程得 得 解出 即特解为 由此得题给方程的通解为