《循环群和置换群》PPT课件.ppt

2020 2 17 1 Lagrange定理 Lagrange定理 G H G H 证明 令G的不同的陪集为Ha1 Ha2 Har G Ha1 Ha2 Har H r H G H 2020 2 17 2 Lagrange定理推论 推论 1 群的元素的阶是群的阶的因子 证明 构造子群 a 2 素数阶群一定是交换群 实际上是循环群 证明 G p p 1 存在非单位元a a 的阶是p的因子 只能是 a p 故G 2020 2 17 3 循环群 定义10 7 设G是群 若在G中存在一个元素a 使得G中的任意元素都是a的幂 则称该群为循环群 元素a为循环群G的生成元 记G 2020 2 17 4 2020 2 17 4 例10 14 1 3 1 整数加群 1 1都是生成元 2 模p整数加群除0外 每个元都是生成元 3 模n整数加群与n互素的元都是生成元 生成元不唯一 2020 2 17 5 2020 2 17 5 例10 14 4 6 4 n阶实矩阵加群 5 n阶实可逆矩阵乘法群 6 集合A 1 2 3 上所有的双射函数关于映射复合构成群S3 f1 f2 f3 f4 f5 f6 H1 f1 f2 H2 f1 f5 f6 f1 f2 f3 f4 f5 f6 2020 2 17 6 循环群必是阿贝尔群 性质 任何一个循环群必为阿贝尔群 证 设G为一个循环群 其生成元为a 则 x y G 必 r s Z s t x ar y as而且 x y ar as ar s as r as ar y x因此 G为一阿贝尔群 2020 2 17 7 阶数 有限群G的阶数 集合G的元素个数 群G的阶数记作 G n元素a的阶数 r是使ar e成立的最小正整数 此时称r为元素a的阶 2020 2 17 8 循环群分类 生成元的阶无限 则G为无限循环群生成元a为n阶元 则G e a a2 an 1 为n阶循环群 循环群的阶和生成元的阶相等 实例为无限循环群为n阶循环群 2020 2 17 9 循环群的生成元 定理10 11G 是循环群 1 若G是无限循环群 则G的生成元是a和a 1 2 若G是n阶循环群 则G有 n 个生成元 当n 1时G 的生成元为e 当n 1时 r r Z r n ar是G的生成元 n r 1 2020 2 17 10 Euler函数 Euler 函数 n 当n 1时 1 1 当n 1时 它的值 n 等于比n小而与n互素的正整数的个数 考虑群 Zn Zn 是Zn中所有可逆元组成的集合 则 Zn n 2020 2 17 11 2020 2 17 11 例10 14 1 3 1 整数加群 1 1都是生成元 2 模p整数加群除0外 每个元都是生成元 3 模n整数加群与n互素的元都是生成元 生成元不唯一 2020 2 17 12 证明思路 1 证明a 1是生成元证明若存在生成元b 则b a或a 1 2 只需证明 r n 1 则ar是生成元反之 若ar是生成元 则 r n 1 2020 2 17 13 证明 2020 2 17 14 循环群的子群 定理10 12G 是循环群 那么 1 G的子群也是循环群 2 若G是无限阶 则G的子群除 e 外也是无限阶 3 若G是n阶的 则对于n的每个正因子d 在G中有且仅有一个d阶子群 2020 2 17 15 证明思路 1 子群H中最小正方幂元am为H的生成元 2 若子群H 有限 a e 则推出 a 有限 3 是d阶子群 然后证明唯一性 2020 2 17 16 证明 2020 2 17 17 证明 续 2020 2 17 18 例10 16 G 为r阶循环群 证明 at r t r 证 令 at s t r d t dp r dq r t r r d q只要证s q at q at r d ar t d ep e s q at s e ats e r ts q ps q s p q互素 2020 2 17 19 实例 1 求生成元 子群 生成元为与12互质的数 1 5 7 1112的正因子为1 2 3 4 6 12 子群 2 G 为12阶群 求生成元和子群 生成元为a2 a10 a14 a22G的子群 2020 2 17 20 实例 3 为无限循环群 求生成元和子群 生成元为a a 1 子群为 i 0 1 2 4 G 求生成元和子群 生成元 1 1 子群nZ n 0 1 2020 2 17 21 置换 定义 设A是一个非空有限集合 从集合A到A的一个双射称为A的一个置换A上的n元置换 A n时A上的一一变换置换的表示法 令A 1 2 n 2020 2 17 22 2020 2 17 例10 14 6 6 集合A 1 2 3 上所有的双射函数关于映射复合构成群S3 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f1 f2 f3 f4 f5 f6 2020 2 17 23 置换举例 eg A 1 2 3 4 f A A1 22 33 44 1则f1 f2 f3 f4 2020 2 17 24 置换的表示法2 k阶轮换 轮换 i1i2 ik 不交轮换的分解式 1 2 t 其中 1 2 t 为不交轮换 1234 13 24 1432 1 2020 2 17 25 置换的表示法2 132 5648 2020 2 17 26 n元置换的轮换表示 性质 任何n元置换都可以表成不交的轮换之积 并且表法是唯一的 1 2 t 1 2 l 1 2 t 1 2 l 2020 2 17 27 置换的表示法3 对换分解式 对换 ij ji i1i2 ik i1i2 i1ik 1 i1ik 12 13 14 13 24 14 13 12 1 2020 2 17 28 置换的表示法3 132 5648 13 12 56 54 58 2020 2 17 29 n元置换的对换表示 任意轮换都可以表成对换之积对换可以有交表法不唯一 但是对换个数的奇偶性不变 2020 2 17 30 奇置换 偶置换 奇置换 表成奇数个对换之积偶置换 表成偶数个对换之积奇置换与偶置换之间存在一一对应 因此各有n 2个 2020 2 17 31 置换的乘法与求逆 置换的乘法 函数的复合例如 8元置换 132 5648 18246573 则 15728 3 4 6 15728 置换求逆 求反函数 132 5648 1 8465 231 2020 2 17 32 对称群 置换群 交错群 令Sn为 1 2 n 上所有n元置换的集合 Sn关于置换乘法构成群 称为n元对称群 Sn的子群称为n元置换群 所以偶置换的集合做成Sn的子群称为n元交错群An 例3元对称群S3 1 12 13 23 123 132 3元交错群A3 1 123 132 2020 2 17 33 置换群举例 eg A 1 2 3 4 f A A1 22 33 44 1则f1 f2 f3 f4对f复合做成一个置换群 1234 13 24 1432 1 2020 2 17 34 置换群中元素的阶 元素的阶k阶轮换 i1i2 ik 的阶为k 1 2 l是不交轮换的分解式 则 1 2 l 2020 2 17 35 置换群子群 1 Sn n元交错群An2元子群 2020 2 17 36 置换群子群 S3 1 12 13 23 123 132 子群6个 S3 A3 2020 2 17 37 置换群子群 S4 1 12 13 14 23 24 34 12 34 13 24 14 23 123 132 124 142 134 143 234 243 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2020 2 17 38 置换群子群 2020 2 17 39 Calay定理 Calay定理 每个有限群都与一个置换群同构 2020 2 17 40 作业 1 阶 5的群都是交换群 举出一个6阶群不是交换群 P204 26 28 29 31