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第1讲 简单的二次方程组的解法在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组高中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法【知识梳理】1.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程2.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组。3.解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。 【高效演练】 1.下列方程组是二元二次方程组的是（）ABCD2方程组有两组不同的实数解，则（ ）A、 B、 C、 D、以上答案都不对【解析】方程组有两组不同的实数解，两个方程消去y得，需要0，即1+4m0，所以.【答案】B3.请你写出一个以和为解的二元二次方程组，这个方程组可以是【分析】根据两方程知x和y的值相等且平方和为2，据此可得【解析】解：这个方程组可以是，故答案为：【点评】本题主要考查列方程组的能力，根据已知方程得出x、y间满足的数量关系是解题的关键4.阅读材料，解答问题：我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解其解法如下：解：由得：y=2x5 将代入得：x2+（2x5）2=10整理得：x24x+3=0，解得x1=1，x2=3将x1=1，x2=3代入得y1=125=3，y2=235=1原方程组的解为，（1）请你用代入消元法解二元二次方程组：；（2）若关x，y的二元二次方程组有两组不同的实数解，求实数a的取信范围【分析】（1）先消去一个未知数再解关于另一个未知数的次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可；（2）先消去一个未知数，得到关于另一个未知数的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解答即可（2）由得，y=12x，把代入得，ax2+（12x）2+2x+1=0，整理得，（a+4）x22x+2=0，由题意得，442（a+4）0，解得a，a+40，a4，a且a4【点评】本题考查的是高次方程的解法，掌握代入消元法的一般步骤和一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键5.解下列方程组（2）；（3）；【解析】（1） (1) +(2)得：，(1) -(2)得：解此四个方程组，得原方程组的解是：（2）方程是x与2y的和,方程是x与2y的积, x与2y是方程z2-4z-21=0的两个根解此方程得:z1=-3,z2=7, 原方程组的解是 （3）(用代入法) 由得: 把代入得: x2-+4()2+x-2=0. 整理得:4x2-21x+27=0 x1=3 x2=. 把x=3代入得:y=1 把x=代入得:y=. 原方程组的解为: 6.k为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解。 【分析】分析：先用代入法消去未知数y，可得到关于x的一元方程，如果这个一元方程是一元二次方程，那么就可以根据根的判别式来讨论。 【解析】（1）将(2)代入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0.(3) 当时，方程(3)有两个相等的实数根。即 解得：k=1。 当k=1时，原方程组有两组相等的实数根。 （2）当时，方程(3)有两个不相等的实数根。即解得： k1且k0. 当k1。 (ii)若方程(3)不是二次方程，则k=0，此时方程(3)为-4x+1=0，它有实数根. 综合(i)和(ii)两种情况可知，当k1时，原方程组没有实数根。 【点评】使用判别式“”的前提条件是能确定方程为一元二次方程，不是一元二次方程不能使用。7.二元二次方程组有两个实数解和，其中y1=2，且，求常数n，t的值【分析】将y1=2，y1=2，代入原方程组可以得到x与n的关系，然后代入，可以求得y2的值，再将方程组中的x消去即可得到关于y的一元二次方程，然后根据韦达定理即可求得n和t的值由方程组，消去x，得（n2+4）y2+4n2y+4（n2t）=0，由韦达定理，得，解得【点评】本题考查高次方程，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件
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