数学建模-绪论(经济数学建模课件(西安交通大学戴雪峰).ppt

数学建模 西安交通大学理学院戴雪峰E mail daixuefeng 教学参考书 1 数学建模试验周义仓 赫孝良编西安交大出版社2 数学模型姜启源编高等教育出版社3 经济数学模型洪毅等编华南理工大学出版社 数学建模课后作业 椅子问题 见教案 存储问题 见教案 存储问题 P44页第一题 极值问题 P44页第七 第八题 人口问题 见教案 指派问题 见教案 课本作业P98页1 3 肿瘤的生长规律 见教案 类似人口模型 经济问题 见教案 课本作业P84页1 3 绪论 一 从现实对象到数学模型 1 原型 Prototype 与模型 Model 原型 在现实世界中我们关心 研究或从事生产管理的实际对象 模型 只为了某个特定的目的将原型的某一部分信息减缩 提炼而构造的原型替代物 模型可分为 形象模型可分为 直观模型 物理模型抽象模型可分为 思维模型 符号模型 数学模型 数学模型 对一个特定的对象 为了一个特定的目的 根据其内在规律 数量依赖关系 做出必要的简化假设 运用适当的数学工具 得到的一个数学结构 数学表达形式 理想的数学模型必须具有可靠性和适用性 数学模型没有固定的格式和标准 建立数学模型的方法 试验归纳 理论分析 2 建立数学模型的一般步骤 建立数学模型的主要步骤 1 了解问题 明确目的 2 对问题进行简化和假设 3 建立模型 4 对模型进行分析 检验和修正 5 模型的应用 用框图表示 3 数学模型的分类 按时间变化对模型的影响 时变与时不变 静态与动态 按变量情况 离散型与连续型 确定性与随机性 按系统性质 宏观与微观模型按变量了解程度 白箱 灰箱 黑箱模型按数学方法 初等模型 微分方程模型 优化与控制模型 按研究领域 人口模型 经济模型 交通模型 生态模型 按方法和对象的数字特征 逻辑模型 稳定性模型 扩散模型 数学模型可分为 二 数学建模示例 例1 椅子问题 在日常生活中 有一个很普通的事实 把四条腿的椅子往不平的地面上一放 通常只有三条腿着地 放不稳 然而只需稍微挪动几次 就可以使四条腿同时着地 放稳了 这个看来与数学无关的现象 能用数学语言给予描述 建立数学模型 并用数学工具证实吗 模型假设 1 椅子四条腿一样长 椅子腿与地面接触可视为一个点 四条腿连线为正方形 2 地面高度是连续变化的 沿任何方向都不会出现间断 没有像台阶那样的情况 即地面可视为数学上的连续曲面 3 对于椅子腿之间的距离和椅子腿的长度而言 地面是相对平坦的 使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地 模型构成 用数学语言把椅子四条腿同时着地的条件和结论表示出来 首先用变量把椅子的位置表示出来 注意到椅脚的连线为正方形 以中心为对称点 正方形绕中心旋转正好代表椅子的位置变化 于是旋转角度这一变量表示椅子的位置 如图 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来 现用一个变量表示椅脚与地面的距离 那末当这个距离为零时就是椅脚着地 椅子在不同位置时 椅脚与地面的距离不同 所以这个距离是椅子位置变量的函数 虽然椅子有四只脚 因而有4个距离 但由于正方形为中心对称 所以只要设两个距离函数即可 记A C两脚与地面距离之和为 B D两脚与地面距离之和为 所以 为连续函数 椅子在任何位置至少有三条腿同时着地 所以对中至少有一个为零 当时 不妨设 问题可归纳为如下数学命题 模型 已知 是的连续函数 且则使得 模型求解 证明方法不唯一 评注 这个模型的巧妙之处就在于用一元变量表示出椅子的位置 用的两个函数表示椅脚与地面的距离 而利用正方形为中心对称和旋转 并不是本质的 请同学们思考 下面再举一个建模及分析过程的一个典型例子 说明数学建模的思路 在具体实例的建模过程中会有这样那样的区别 但总体思路不会有太大的偏差 例2 雨中行走问题在雨中行走 一个似乎很简单的事实是 为了减少雨淋的时间你应该在雨中尽快地走 但是如果考虑降雨方向的变化 在全部距离上尽力快跑不一定是最好方案 现试组建数学模型来探讨如何在雨中行走 才能减少雨淋的程度 分析 这一问题的主要因素有 1 降雨的大小 2 降雨的方向 3 路程的远近和跑的快慢 为了简化问题的研究 假设 1 降雨的速度和降雨的强度保持不变 2 以定速跑完全程 3 风速不变 4 把人体看成是一个长方体 设在雨中行走的距离D米 行走的时间t秒 速度v米 秒 身高h米 宽度w米 厚度d米 身体被淋雨水总量c升 降雨强度 单位时间平面上降下雨水的厚度 I厘米 时 先讨论最简单的情形 不考虑降雨角度的影响 也就是说行走过程中 身体的前后左右和上方都将淋雨 雨中行走的距离D 身体被淋雨水的面积S 是不变的 视为参数 而行走的速度v 时间t以及降雨强度I在问题中可调节 分析 视为变量 考虑单位的一致性 模型表明c与v成反比 模型中的参数可由观测和调查资料获得 按照建模的程序 需回到对问题所作假设 推敲这些假设是否恰当 发现不考虑降雨角度的影响的假设把问题过于简单化了 考虑到降雨角度 设降雨速度r米 秒 降雨的角度 雨滴下落的密度 称为降雨强度系数 显然 当时意味着大雨倾盆 如图所示 因为雨滴是迎面落下 由经验可知 被雨水淋湿的部位仅仅是顶部和前方 所以淋在身上的雨水分为两部分计算 顶部的面积wd 雨滴的垂直速度分量 淋在顶部的雨量 前方的面积wh 雨滴的水平速度分量 所以前方被雨淋湿的雨量 在此模型中 为变量 为雨滴下落的方向 于是问题就变为 给定 如何选择 使得c最小 情形1 表明c是v的减函数 只有当v取到最大时 c最小 情形2 表明c是v的减函数 只有当v取到最大时 c最小 情形3 当大到一定程度 在内 这个表达式就有可能取负 这显然不合理 主要原因 超出了前面讨论的范围 因此必须回到开始的分析过程 对这种情况进行详细的讨论 按雨中行走速度分成两种情况 a 情形 即行走速度慢于雨滴的水平速度 淋在背上的雨量 所以淋在全身的雨水总量 带入数据表明c是v的减函数 此时设 取等号时c达到最小 当以速度行走时 c可化简为它表明仅仅淋湿头顶部位 b 情形 即行走速度快于雨滴的水平速度 前胸被淋的雨水量是所以全身被淋的雨水总量是 综上 结论为 如果雨是迎着你前进方向 策略 尽可能快跑 如果雨是从背后落下 策略 控制行走速度 使刚好等于雨滴速度的水平分量 三 数学建模与能力的培养 数学建模课的主要目的 提高综合素质 观察能力 分析能力和数据处理能力 想象力和归纳简化能力 增强应用数学的能力 培养创新的能力 一些简单实例 例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处 然后他妻子开车接他回家 有一天 他比平时提早了三十分钟到达该处 于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子 这一天 他比平时提前了十分钟到家 问此人共步行了多长时间 例2 某人第一天由A地去B地 第二天由B地沿原路返回A地 问 在什么条件下 可以保证途中至少存在一地 此人在两天中的同一时间到达该地 例3 交通灯在绿灯转换成红灯时 有一个过渡状态 亮一段时间的黄灯 请分析黄灯应当亮多久 例5 将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放 欲尽可能地延伸到远方 问最远可以延伸多大距离 例4 餐馆每天都要洗大量的盘子 某餐馆是这样清洗盘子的 先用冷水粗粗洗一下 再放进热水池洗涤 水温不能太高 否则会烫手 但也不能太低 否则洗不干净 餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子 请你建模分析一下这一问题 例6 某公交线路在A B两地间运行 每隔10分钟A B各发出一班车 某人常在离家最近的C点等车 他发现了一个奇怪的现象 在绝大多数情况下 先到站的总是由B去A的车 难道由B去A的车次多些吗 请帮助他分析原因 例7 崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器 你想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度 假定你能准确地测定时间 你又怎样来推算山崖的高度呢 请分析一下这一问题 解1 假定空气阻力不计 可直接利用自由落体运动的公式来计算 解2 除引力外 还有空气阻力 其正比于石块下落的速度 阻力系数K为常数 令k K m 解得代入初始条件v 0 0 得c g k 故有 再积分得 代入初始条件h 0 0 得到计算公式 将e kt用泰勒公式展开 并令k 0 即可得出前面不考虑空气阻力时的结果 进一步深入考虑 听到回声再按跑表 计算得到的时间中包含了反应时间 再一步深入考虑 还应考虑回声传回来所需要的时间 为此 令石块下落的真正时间为t1 声音传回来的时间记为t2 还得解一个方程组 这一方程组是非线性的 求解不太容易 为了估算崖高竟要去解一个非线性方程组似乎不合情理 相对于石块速度 音速要快得多 我们可用方法二先求出h 令t2 h 340 校正t 求石块下落时间t1 t t2将t1代入式 1 再算一次 得出崖高的近似值 例8 SARS建模和预测 SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病 SARS从2002年11月份开始在我国和世界范围内流行 到2003年6月23日为止 世界卫生组织报道的SARS患者已经达到了8459人 其中802人死亡 中国是SARS流行的重灾区 到6月23日为止的SARS患者为5326人 其中347人死亡 给人民生活和国民经济发展带来了巨大的影响 SARS是传染性很强的传染病 它主要通过近距离空气飞沫以及接触病人呼吸道分泌物和密切接触进行传播 也可能通过病人飞沫污染物传播 潜伏期一般为2 11天 在潜伏期无感染 主要症状有 发热 体温38 以上 为首发症状 多为高热 并可持续1 2周以上 可伴有寒战或其他症状 包括头痛 全身酸痛和不适 乏力 部分病人在早期也会有轻度的呼吸道症状 如咳嗽 咽痛等 治愈后不会再被感染 假设 1 单位时间感染的人数与现有的感染者成比例 2 单位时间内治愈的人数与现有的感染者成比例 3 单位时间内死亡的感染者人数与现有的感染者成比例 4 SARS患者治愈恢复后不再被感染 5 各类人口的自然死亡可以忽略 6 忽略迁移的影响 模型令I t 是第t天时感染者的数量 则I t 1 I t b t I t d t c t I t b t 为感染率 d t 为死亡率 c t 为治愈率 模型简化为I t 1 I t r t I t 只要知道开始时的感染人数和b t 就可以利用该模型进行预测 r t 的估计r t I t 1 I t I t 利用实际数据计算 再进行曲线拟合