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2.3.2离散型随机变量的方差学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差知识点一方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下：X012PY012P思考1试求E(X)，E(Y)答案E(X)012，E(Y)012.思考2能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？答案不能，因为E(X)E(Y)思考3试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？答案方差梳理(1)方差及标准差的定义设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn方差：D(X)(xiE(X)2pi；标准差：.(2)方差与标准差的意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小(3)方差的性质：D(aXb)a2D(X)知识点二两点分布与二项分布的方差XX服从两点分布XB(n，p)D(X)p(1p)(其中p为成功概率)np(1p)1离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定()2若a是常数，则D(a)0.()3离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度()类型一求随机变量的方差与标准差例1已知X的分布列如下：X101Pa(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y4X3，求Y的均值和方差考点离散型随机变量方差的性质题点方差性质的应用解(1)由分布列的性质，知a1，故a，从而X2的分布列为X201P(2)方法一由(1)知a，所以X的均值E(X)(1)01.故X的方差D(X)222.方法二由(1)知a，所以X的均值E(X)(1)01，X2的均值E(X2)01，所以X的方差D(X)E(X2)E(X)2.(3)因为Y4X3，所以E(Y)4E(X)32，D(Y)42D(X)11.反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)E(X2)E(X)2不失为一种比较实用的方法另外注意方差性质的应用，如D(aXb)a2D(X)跟踪训练1已知的分布列为010205060P(1)求方差及标准差；(2)设Y2E()，求D(Y)考点离散型随机变量方差的性质题点方差性质的应用解(1)E()01020506016，D()(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384，8.(2)Y2E()，D(Y)D(2E()22D()43841 536.类型二两点分布与二项分布的方差例2为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，均值E()为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率考点三种常用分布的方差题点二项分布的方差解由题意知，B(n，p)，P(k)Cpk(1p)nk，k0,1，n.(1)由E()np3，D()np(1p)，得1p，从而n6，p.的分布列为0123456P(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)P(3)，得P(A)，或P(A)1P(3)1，所以需要补种沙柳的概率为.反思与感悟解决此类问题第一步是判断随机变量服从什么分布，第二步代入相应的公式求解若服从两点分布，则D()p(1p)；若服从二项分布，即B(n，p)，则D()np(1p)跟踪训练2某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差考点三种常用分布的方差题点二项分布的方差解(1)用表示抽得的正品数，则0,1.服从两点分布，且P(0)0.02，P(1)0.98，所以D()p(1p)0.98(10.98)0.019 6.(2)用X表示抽得的正品数，则XB(10,0.98)，所以D(X)100.980.020.196，标准差为0.44.类型三方差的实际应用例3为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人考点均值、方差的综合应用题点均值与方差在实际中的应用解(1)依据题意知，0.53aa0.11，解得a0.1.乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2.，的分布列分别为10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)结合(1)中，的分布列，可得E()100.590.380.170.19.2，E()100.390.380.270.28.7，D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96，D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.E()E()，说明甲平均射中的环数比乙高又D()D()，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定1已知随机变量X的分布列为X101P则下列式子：E(X)；D(X)；P(X0).其中正确的个数是()A0 B1C2 D3考点离散型随机变量方差、标准差的概念与计算题点离散型随机变量的方差、标准差的计算答案C解析由分布列可知，E(X)(1)01，故正确；D(X)222，故不正确，显然正确2有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)E(X乙)，方差分别为D(X甲)11，D(X乙)3.4.由此可以估计()A甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较考点均值、方差的综合应用题点均值与方差在实际中的应用答案B3同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为，则D()等于()A. B. C. D5考点三种常用分布的方差题点二项分布的方差答案A解析抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为P，则易知满足B，n10，p，则D()np(1p)10.4已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)0，D(X)1，则a_，b_.X1012Pabc考点离散型随机变量方差的性质题点方差性质的应用答案解析由题意知解得5编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，求E()和D()考点均值、方差的综合应用题点求随机变量的均值与方差解的所有可能取值为0,1,3，0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P(0)；1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(1)；3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(3).所以的分布列为013PE()0131.D()(01)2(11)2(31)21.1随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度方差D(X)或标准差越小，则随机变量取值偏离均值的平均程度越小；方差D(X)或标准差越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散2求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值(2)求X取每一个值的概率(3)写出随机变量X的分布列(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)一、选择题1设一随机试验的结果只有A和，且P(A)m，令随机变量则的方差D()等于()Am B2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)考点三种常用分布的方差题点两点分布的方差答案D解析随机变量的分布列为01P1mm所以E()0(1m)1mm.所以D()(0m)2(1m)(1m)2mm(1m)2牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为，则D()等于()A0.2 B0.8 C0.196 D0.804考点均值、方差的综合应用题点求随机变量的均值与方差答案C3设随机变量的分布列为P(k)Cknk，k0,1,2，n，且E()24，则D()的值为()A. B8 C12 D16考点三种常用分布的方差题点二项分布的方差答案B解析由题意可知B，所以nE()24.所以n36.所以D()n368.4若数据x1，x2，xn的平均数为6，标准差为2，则数据2x16,2x26，2xn6的平均数与方差分别为()A6,8 B12,8 C6,16 D12,16考点均值、方差的综合应用题点求随机变量的均值与方差答案C5由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为X1(甲得分)012P(X1xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2xi)0.30.30.4现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？()A甲 B乙C甲、乙均可 D无法确定考点均值、方差的综合应用题点均值与方差在实际中的应用答案A解析E(X1)E(X2)1.1，D(X1)1.120.20.120.50.920.30.49，D(X2)1.120.30.120.30.920.40.69，D(X1)D(X2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好6已知随机变量的分布列如下：mnPa若E()2，则D()的最小值等于()A. B2 C1 D0考点离散型随机变量方差的性质题点方差性质的应用答案D解析由题意得a1，所以E()mn2，即m2n6.又D()(m2)2(n2)22(n2)2，所以当n2时，D()取最小值为0.7某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y3X5，则Y的标准差为()A. B3 C. D2考点三种常用分布的方差题点二项分布的方差答案A解析因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即XB，则X的方差D(X)3，所以Y的方差D(Y)32D(X)96，所以Y的标准差为.8已知随机变量XY8，若XB(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A6和2.4 B2和2.4C2和5.6 D6和5.6考点三种常用分布的方差题点二项分布的方差答案B解析因为XY8，所以Y8X.因此，求得E(Y)8E(X)8100.62，D(Y)(1)2D(X)100.60.42.4.二、填空题9随机变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E()，则D()_.考点离散型随机变量方差的性质题点方差性质的应用答案解析由题意得解得a，b，c，故D().10设随机变量B(2，p)，B(4，p)，若P(1)，则D()_.考点三种常用分布的方差题点二项分布的方差答案解析由随机变量B(2，p)，且P(1)，得P(1)1P(0)1C(1p)2，易得p.由B(4，p)，得随机变量的方差D()4.11有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)_.考点均值、方差的综合应用题点求随机变量的均值与方差答案3.36解析由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12.P(X6)，P(X9)，P(X12)，则E(X)69127.8，D(X)(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36.三、解答题12为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛决赛通过随机抽签方式决定出场顺序求：(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差考点均值、方差的综合应用题点求随机变量的均值与方差解(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，则P(A).所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).随机变量X的分布列为X01234P因此，E(X)01234.D(X)22222.13有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：A110120125130135P0.10.20.40.10.2B100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，A，B分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)考点均值、方差的综合应用题点求随机变量的均值与方差解E(A)1100.11200.21250.41300.11350.2125，E(B)1000.11150.21250.41300.11450.2125，D(A)0.1(110125)20.2(120125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(135125)250，D(B)0.1(100125)20.2(115125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(145125)2165，由此可见，E(A)E(B)，D(A)D(B)，故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好四、探究与拓展14根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示.降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y的方差为_考点均值、方差的综合应用题点求随机变量的均值与方差答案9.8解析由已知条件和概率的加法公式知，P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以随机变量Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1故E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数Y的方差为9.8.15一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)考点三种常用分布的方差题点二项分布的方差解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216，则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6)，所以均值E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.
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