2019-2020年人教A版高中数学必修五第二章第4节等比数列（第2课时）教案.doc

2019 2020 年人教 A 版高中数学必修五第二章第 4 节等比数列 第 2 课时 教案 一 教学目标 知识与技能 1 了解等比数列更多的性质 2 能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际 问题的解决中 3 能在生活实际的问题情境中 抽象出等比数列关系 并能用有关的知识解决相应的实际 问题 过程与方法 1 继续采用观察 思考 类比 归纳 探究 得出结论的方法进行教学 2 对生活实际中的问题采用合作交流的方法 发挥学生的主体作用 引导学生探究问题的 解决方法 经历解决问题的全过程 3 当好学生学习的合作者的角色 情感态度与价值观 1 通过对等比数列更多性质的探究 培养学生的良好的思维品质和思维习惯 激发学生对 知识的探究精神和严肃认真的科学态度 培养学生的类比 归纳的能力 2 通过生活实际中有关问题的分析和解决 培养学生认识社会 了解社会的意识 更多地 知道数学的社会价值和应用价值 二 教学重点 1 探究等比数列更多的性质 2 解决生活实际中的等比数列的问题 教学难点 渗透重要的数学思想 类比思想 归纳思想 数形结合思想 算法思想 方程 思想以及一般到特殊的思想方法等 三 学情及导入分析 这节课师生将进一步探究等比数列的知识 以教材练习中提供的问题作为基本材料 认识等比数列的一些基本性质及内在的联系 理解并掌握一些常见结论 进一步能用来解 决一些实际问题 通过一些问题的探究与解决 渗透重要的数学思想方法 教学中以师生合作 探究为主要形式 充分调动学生的学习积极性 教具准备 多媒体课件 投影胶片 投影仪等 四 教学过程 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 复习旧知 识 引入 新知 归纳抽象 形成概念 1 温故知新 师 教材中第 59 页练习第 3 题 第 4 题 请学生课外进行活动探究 现在 请同学们把你们的探究结果展示一下 师 对各组的汇报给予评价 师 出示多媒体幻灯片一 第 3 题 第 4 题详细解答 猜想 在数列 a n 中每隔 m m 是一个 正整数 取出一项 组成一个新数列 这个数列是以 a1 为首项 q m 为公比的 等比数列 本题可以让学生认识到 等比数列 中下标为等差数列的子数列也构成等 比数列 可以让学生再探究几种由原 等比数列构成的新等比数列的方法 第 4 题解答 1 设 a n 的公比是 q 则 a52 a1q4 2 a12q8 而 a3 a7 a1q2 a1q6 a12q8 所以 a52 a3 a7 同理 a 52 a1 a9 2 用上面的方法不难证明 an2 a n 1 a 学生回答 生 由学习小组汇报探究结果 第 3 题解答 1 将数列 an 的前 k 项去掉 剩余的数列为 a k 1 a k 2 令 bi ak i i 1 2 则数列 a k 1 ak 2 可视为 b1 b2 因为 i 1 所以 b n 是等比 数列 即 a k 1 a k 2 是等比 数列 2 an 中每隔 10 项取出一项组 成的数列是 a1 a 11 a 21 则 k 1 所以数列 a1 a 11 a21 是以 a1 为首项 q 10 为公比的 等比数列 由复习引 入 通过数学 知识的内部提 出问题 n 1 n 1 由此得出 a n 是 a n 1 和 a n 1 的等比中项 同理可证 an2 a n k an k n k 0 a n 是 an k 和 an k 的等比 中项 n k 0 师 和等差数列一样 等比数列中蕴涵 着许多的性质 如果我们想知道的更 多 就要对它作进一步的探究 比较分析 深化认识 合作探究 师 出示投影胶片 1 例题 1 教材 P61B 组第 3 题 就任一等 差数列 a n 计算 a7 a 10 a 8 a9 和 a10 a 40 a 20 a30 你发现了什么一般 规律 能把你发现的规律用一般化的 推广吗 从等差数列和函数之间的联 系的角度来分析这个问题 在等比数列 中会有怎样的类似结论 师 注意题目中 就任一等差数列 a n 你打算用一个什么样的等差数列来计 算 师 很好 这个数列最便于计算 那么 发现了什么样的一般规律呢 师 题目要我们 从等差数列与函数之间 的联系的角度来分析这个问题 如何 做 师 出示多媒体课件一 等差数列与函 数之间的联系 师 从等差数列与函数之间的联系的角 度来分析这个问题 由等差数列 a n 的 生 用等差数列 1 2 3 生 在等差数列 an 中 若 k s p q k s p q N 则 ak as ap aq 生 思考 讨论 交流 生 猜想对于等比数列 a n 类 似的性质为 k s p t k s p t N 则 ak as ap at 培养学生分 析 抽象能力 感受数学概念 形成过程及建 模思想 图象 可以看出 根据等式的性质 有 所以 ak as ap aq 师 在等比数列中会有怎样的类似结论 师 让学生给出上述猜想的证明 证明 设等比数列 a n 公比为 q 则有 ak a s a1qk 1 a1qs 1 a12 qk s 2 ap at a1q p 1 a1qt 1 a12 qp t 2 因为 k s p t 所以有 ak as ap at 师 指出 经过上述猜想和证明的过程 已经得到了等比数列的一个新的性质 即等比数列 a n 中 若 k s p t k s p t N 则有 ak as ap at 师 下面有两个结论 1 与首末两项等距离的两项之积等于 首末两项的积 2 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方 你能将这两个结论与上述性质联系起 来吗 师 引导学生思考 得出上述联系 并 给予肯定的评价 师 上述性质有着广泛的应用 师 出示投影胶片 2 例题 2 例题 2 1 在等比数列 a n 中 已知 生 思考 列式 合作交流 得到 结论 1 就是上述性质 中 1 n 1 t n t 时的情形 结论 2 就是上述性质中 k k k t k t 时的情形 例题 2 三个小题由师生合作 交流完成 充分让学生思考 展示将问题与所学的性质联系 到一起的思维过程 解答 1 在等比数列 an 中 已知 a1 5 a 9a10 100 求 a 18 解 a 1a 18 a9a 10 a 18 20 2 在等比数列 b n 中 b 4 3 求该数列前七项之积 解 b1b2b3b4b5b6b7 b1b7 b2b6 b3b5 b4 b 42 b1b7 b2b6 b3b5 前七项之积 3 2 3 3 37 2 187 3 在等比数列 a n 中 a 2 培养学生善于 联想 体会知 识间的内在联 系 从而加深 对数学概念的 理解 教师引导学生 回答 作出评 价 a1 5 a9a 10 100 求 a 18 2 在等比数列 b n 中 b 4 3 求该数 列前七项之积 3 在等比数列 a n 中 a 2 2 a5 54 求 a8 2 a 5 54 求 a8 解 a 5 是 a2 与 a8 的等比中 项 54 2 a8 2 a 8 1 458 另解 a8 a5q3 a5 1 458 例题解析 师 判断一个数列是否成等比数列的方 法 1 定义法 2 中项法 3 通项 公式法 例题 3 已知 a n bn 是两个项数相同 的等比数列 仿照下表中的例子填写 表格 从中你能得出什么结论 证明你 的结论 an bn an bn 判断 a n bn 是否是等比数列 例 5 2n 1 是 自选 1 自选 2 师 请同学们自己完成上面的表 师 根据这个表格 我们可以得到什么 样的结论 如何证明 教师精讲 除了上面的证法外 我 们还可以考虑如下证明思路 证法二 设数列 a n 的公比是 p b n 公比是 q 那么数列 a n bn 的第 n 项 第 n 1 学生分组讨论自主探究 教师 巡视指导 生 得到 如果 a n b n 是两 个项数相同的等比数列 那么 an bn 也是等比数列 证明如下 设数列 a n 的公 比是 p b n 公比是 q 那么数 列 a n bn 的第 n 项与第 n 1 项 分别为 a1p n 1b1qn 1 与 a1pnb1qn 因为 它是一个与 n 无关的常数 所 以 a n bn 是一个以 pq 为公比的 等比数列 引导学生通过 自主分析思考 合作交流解决 问题 培养良 好的学习习惯 和能力 项与第 n 1 项 n 1 n N 分别为 a1p n 1b1q n 1 a 1p n 2b1qn 2 与 a1pnb1qn 因为 anbn 2 a1p n 1b1qn 1 2 a1b1 2 pq 2 n 1 a n 1 bn 1 a n 1 bn 1 a1pn 2b1qn 2 a1pnb1qn a1b1 2 pq 2 n 1 即有 a nbn 2 a n 1 bn 1 a n 1 bn 1 n 1 n N 所以 a n bn 是一个等比数列 师 根据对等比数列的认识 我们还可 以直接对数列的通项公式考察 证法三 设数列 a n 的公比是 p b n 公比是 q 那么数列 a n bn 的通项公式 为 anbn a1p n 1b1qn 1 a1b1 pq n 1 设 cn anbn 则 cn a1b1 pq n 1 所以 a n bn 是一个等比数列 课堂小结 本节学习了如下内容 1 等比数列的性质的探究 2 证明等比数列的常用方法 引导学生学会自己总结 让学 生进一步体会知识的形成 发 展 完善的过程 课后作业 1 课本第 60 页习题 2 4 A 组第 3 题 B 组第 1 题 2 配套练习 学生课后完成 进一步对所学 知识巩固深化 五 板书设计 板书设计 等比数列的基本性质及其应用 例 1 例 2 例 3 备课资料 备用例题 1 已知无穷数列 求证 1 这个数列成等比数列 2 这个数列中的任一项是它后面第五项的 3 这个数列的任意两项的积仍在这个数列中 证明 1 常数 该数列成等比数列 2 即 3 apaq p q N p q 2 p q 1 1 且 p q 1 N 第 p q 1 项 2 设 a b c d 均为非零实数 a 2 b2 d2 2b a c d b2 c2 0 求证 a b c 成等比数列且公比为 d 证法一 关于 d 的二次方程 a 2 b2 d2 2b a c d b2 c2 0 有实根 4b 2 a c 2 4 a2 b2 b2 c2 0 4 b2 ac 2 0 b 2 ac 2 0 则必有 b 2 ac 0 即 b2 ac a b c 成等比数列 设公比为 q 则 b aq c aq2 代入 a2 a2q2 d2 2aq a aq2 d a2q2 a2q4 0 q 2 1 a2 0 d 2 2qd q2 0 即 d q 0 证法二 a 2 b2 d2 2b a c d b2 c2 0 a 2d2 2abd b2 b2d2 2bcd c2 0 ad b 2 bd c 2 0 ad b 且 bd c a b c d 非零 d a b c 成等比数列且公比为 d