2018高中数学 初高中衔接读本 专题2.2 根与系数的关系韦达定理）精讲深剖学案.doc

第2讲 根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”上述定理成立的前提是【典例解析】1.已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值【分析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值【解析】解法一：2是方程的一个根，522k260，k7所以，方程就为5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一个根为，k的值为7解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1，x1由 （）2，得k7所以，方程的另一个根为，k的值为7【解题反思】本题两种解法进行比较，解法一将已知的根代入方程求解出k的值，再求另一个根；而解法二直接运用韦达定理，建立二元一次方程求解更加高效。2. 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求的值； （2）求的值；（3）x13x23【解析】x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x26， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()【解题反思】为了解题简便，我们探讨出一般规律：设分别是一元二次方程ax2bxc0（a0）的根，则运用根与系数的关系以下变形需掌握；或【变式训练】1.若是方程的两个根，试求下列各式的值；（1）； （2）；（3）； （4）；【分析】本题若运用求根公式先求解，运算量太大，借助韦达定理是一条更加高效的解题思路；【点评】掌握韦达定理的常见变形可帮助我们提升解题速度。2.已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值【分析】本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零【解析】设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得； x1x22(m2)，x1x2m24x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，即 2(m2) 23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得； m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m17【点评】（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根3.已知两个数的和为4，积为12，求这两个数【分析】我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程；x24x120的两个根解这个方程，得；x12，x26所以，这两个数是2和6【点评】从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷