资源描述
第1章 导数及其应用对应学生用书P31一、导数的概念1导数函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点xx0处可导，称常数A为函数f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)2导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数中随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数记作f(x)二、导数的几何意义 1f(x0)是函数yf(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义2求切线方程：常见的类型有两种：一是函数yf(x)“在点xx0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0)是曲线上的点，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)二是函数yf(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程三、导数的运算1基本初等函数的导数(1)f(x)C，则f(x)0(C为常数)；(2)f(x)x，则f(x)x1(为常数)；(3)f(x)ax(a0且a1)，则f(x)axln a；(4)f(x)logax(a0，且a1)，则f(x)；(5)f(x)sin x，则f(x)cos x；(6)f(x)cos x，则f(x)sin x.2导数四则运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求导数f(x)；(2)解不等式f(x)0或f(x)0；(3)写出单调增区间或减区间特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“”连接五、导数与函数的极值利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)0的根的两侧的f(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值，否则此根不是f(x)的极值点六、求函数f(x)在闭区间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值特别地，当f(x)在a，b上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判断f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(，)七、导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去(2)在实际问题中，由f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值八定积分(1)定积分是一个数值定积分的定义体现的基本思想是：先分后合、化曲为直(以不变代变)定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的面积要注意区分f(x)dx，|f(x)|dx及三者的不同(2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法，关键是求被积函数的原函数而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，则a的值为_解析：f(x)ax2c，f(x)2ax，f(1)2a，又f(1)2，a1.答案：12曲线yx34x在点(1，3)处的切线的倾斜角为_解析：y3x24，当x1时，y1，即tan 1.又(0，)，.答案：3已知函数f(x)x3ax2x18在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意得f(x)3x22ax10在(，)上恒成立，因此4a2120a，所以实数a的取值范围是，答案：，4y2x33x2a的极大值为6，则a_.解析：y6x26x6x(x1)，令y0，则x0或x1.当x0时，ya，当x1时，ya1.由题意知a6.答案：65函数y的导数为_解析：y.答案：6若(xk)dx，则实数k的值为_解析：(xk)dxk，解得k1.答案：17函数f(x)x2ln x的单调递减区间是_解析：f(x)2x.令f(x)0，因为x(0，)，2x210，即0x0，当0x时，f(x)时，f(x)0，f(x)为增函数，依题意得1k0得x3；令g(x)0得0x3.函数g(x)在(，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，)上为增函数函数在x0处取得极大值，在x3处取得极小值要使g(x)有三个零点，只需解得m5.实数m的取值范围为.18(本小题满分16分)已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax2(e2.71，aR)(1)判断曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线yg(x)的公共点个数；(2)当x时，若函数yf(x)g(x)有两个零点，求a的取值范围解：(1)f(x)ln x1，所以斜率kf(1)1.又f(1)0，曲线在点(1,0)处的切线方程为yx1.由x2(1a)x10.由(1a)24a22a3可知：当0时，即a1或a3时，有两个公共点；当0时，即a1或a3时，有一个公共点；当0时，即1a3时，没有公共点(2)yf(x)g(x)x2ax2xln x，由y0得axln x.令h(x)xln x，则h(x).当x，由h(x)0得x1.所以h(x)在上单调递减，在1，e上单调递增，故hmin(x)h(1)3.由h2e1，h(e)e1，比较可知hh(e)所以，当3ae1时，函数yf(x)g(x)有两个零点19(本题满分16分)某公司将进货单价为a元(a为常数，3a6)一件的商品按x元(7x10)一件销售，一个月的销售量为(12x)2万件(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L(x)(万元)与每件商品的售价x(元)的函数关系式；(2)当每件商品的售价为多少元时，L(x)取得最大值？并求L(x)的最大值解：(1)L(x)(xa)(12x)2(7x10)(2)L(x)(12x)2(xa)(2x24)(12x)(122a3x)令L(x)0得x或x12.由a3,6得6,8当6,7，即3a时，L(x)在7,10上是减函数，L(x)的最大值为L(7)25(7a)；当(7,8，即a6时，L(x)在上是增函数，在，10上是减函数L(x)的最大值为L综上可知，若3a，则当x7时，L(x)取得最大值，最大值是25(7a)；若a6，则当x时，L(x)取得最大值，最大值是.20(本小题满分16分)(山东高考)设函数f(x)aln x，其中a 为常数(1)若 a0，求曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性解：(1)由题意知a0时，f(x)，x(0，)此时f(x).可得f(1)，又f(1)0，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.由x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增
展开阅读全文