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专题21 不等式及解法一、 考纲要求： 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图二、概念掌握及解题上的注意点： 1.比较两个数(式)大小的两种方法2与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用3与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法 4.解一元二次不等式的一般方法和步骤( 1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.( 2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或).( 3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.5.解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.三、高考考题题例分析： 例1.(2017山东卷)若，且，则下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B例2.(2017天津卷)已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】不等式为(*)，当时，(*)式即为，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上故选A例3.(2016高考新课标1)若,则( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】：用特殊值法,令,得,选项A错误,选项B错误,选项C正确,选项D错误,故选C例4.(2015高考山东卷)不等式的解集是（ ）（A）（-，4） （B）（-，1） （C）（1，4） （D）（1，5）【答案】A例5.(2015高考江苏卷)不等式的解集为_.【答案】（-1,2）【解析】由题意得：，解集为（-1,2）例6（2018课标卷III）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）Aa+bab0Baba+b0Ca+b0abDab0a+b【答案】B【解析】：a=log0.20.3=，b=log20.3=，=，aba+b0故选：B例7.（2018天津卷）已知a=log2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab【答案】D不等式及解法练习一、 选择题 1已知a，b是实数，则“a0且b0”是“ab0且ab0”的 ()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】又当ab0时，a与b同号，结合ab0知a0且b0，故“a0且b0”是“ab0且ab0”的充要条件2若a，bR，且ab，则下列不等式恒成立的是 ()Aa2b2B1C2a2bDlg(ab)0【答案】C【解析】取a1，b2，排除A，B，D故选C3已知集合A，B0,1,2,3，则AB ()A1,2B0,1,2C1D1,2,3【答案】A【解析】Ax|0x2，AB1,2，故选A4已知x，yR，那么“xy”的充要条件是 () A2x2yBlg xlg yCDx2y2【答案】A5关于x的不等式axb0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x3)0的解集是 ()A(，1)(3，)B(1,3)C(1,3)D(，1)(3，)【答案】C【解析】关于x的不等式axb0即axb的解集是(1，)，ab0，不等式(axb)(x3)0可化为(x1)(x3)0，解得1x3，所求不等式的解集是(1,3)故选C6.设a，b均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的 ()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a|b|能推出ab，进而得a3b3；当a3b3时，有ab，但若ba0，则a|b|不成立，所以“a|b|”是“a3b3”的充分不必要条件，故选A7.已知mR，ab1，f(x)，则f(a)与f(b)的大小关系是 () Af(a)f(b)Bf(a)f(b)Cf(a)f(b)D不确定【答案】C【解析】f(a)，f(b)，f(a)f(b)m2m2m2，当m0时，f(a)f(b)；当m0时，m20，又ab1，f(a)f(b)综上，f(a)f(b)8已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()AcbaBacbCcbaDacb【答案】A9已知0ab，且ab1，则下列不等式中正确的是 ()Alog2a0B2abClog2alog2b2D2【答案】C【解析】由题意知0a1，此时log2a0，A错误；由已知得0a1,0b1，所以1b0，又ab，所以1ab0，所以2ab1，B错误；因为0ab，所以22，所以2224，D错误；由ab12，得ab，因此log2alog2blog2(ab)log22，C正确10若集合A，则实数a的值的集合是 ()Aa|0a4Ba|0a4Ca|0a4Da|0a4【答案】D【解析】由题意知a0时，满足条件，a0时，由得00在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是 ()A(，2)B(2，)C(6，)D(，6)【答案】A12.已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，若当x1,1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A(1,0)B(2，)C(，1)(2，)D不能确定【答案】C【解析】由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称，即1，解得a2.又因为f(x)开口向下，所以当x1,1时，f(x)为增函数，所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2，f(x)0恒成立，即b2b20恒成立，解得b1或b2. 二、填空题13已知a，b为实数，且ab，a0，则a_2b.(填“”“”或“”)【答案】【解析】ab，a0，a0，a2b.14若0a1，则不等式(ax)0的解集是_. 【答案】【解析】原不等式可化为(xa)0，由0a1得a，ax.15在R上定义运算：adbc.若不等式1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为_【答案】16不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为_. 【答案】8,4【解析】因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0对于任意的a，bR恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由二次不等式的性质可得，2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.三、解答题17.解下列不等式：(1)32xx20；(2)x2(a1)xa0.【答案】(1) x|1x3【解析】(1)原不等式化为x22x30，即(x3)(x1)0，故所求不等式的解集为x|1x3(2)原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为(a,1)18若不等式ax25x20的解集是.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax25xa210的解集【答案】(1) a2. (2) 19已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】不存在【解析】要使不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x0，则x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立20.设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围【答案】【解析】要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即mm60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0)的最小值；(2)对于任意的x0,2，不等式f(x)a成立，试求a的取值范围【答案】(1) 2. (2) 【解析】(1)依题意得yx4.因为x0，所以x2，当且仅当x时，即x1时，等号成立，所以y2.所以当x1时，y的最小值为2.(2)因为f(x)ax22ax1，所以要使得“x0,2，不等式f(x)a成立”只要“x22ax10在0,2上恒成立”不妨设g(x)x22ax1，则只要g(x)0在0,2上恒成立即可，所以即解得a，则a的取值范围为. 22已知函数f(x)的定义域为R(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2xa2a0【答案】(1) 0,1(2)f(x)，由题意及(1)可知0a1，当x1时，f(x)min，由题意得，a，不等式x2xa2a0可化为x2x0解得x，不等式的解集为
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