2018高中数学 初高中衔接读本 专题2.2 根与系数的关系韦达定理）高效演练学案.doc

第2讲 根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”上述定理成立的前提是【高效演练】1.若 是一元二次方程 的两个根，则的值是()A2 B2 C4 D3【解析】：方程的两根为，根据题意得故选D【答案】D2若，是方程x22x3=0的两个实数根，则2+2的值为（）A. 5 B. 7 C. 9 D. 10【解析】，是方程x22x3=0的两个实数根，+=2，=3，2+2=（+）22=222（3）=10故选D【答案】D3关于x的一元二次方程x2pxq0的两根同为负数，则()A. p0且q0 B. p0且q0 C. p0且q0 D. p0且q0【解析】试题解析：设x1，x2是该方程的两个负数根，则有x1+x20，x1x20，x1+x2=-p，x1x2=q-p0，q0p0，q0故选A【答案】A4.方程x2(m6)xm20有两个相等的实数根，且满足x1x2x1x2，则m的值是()A. 2或3 B. 3 C. 2 D. 3或25.规定：如果关于x的一元二次方程（a0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：方程是倍根方程；若关于x的方程是倍根方程，则a=3；若关于x的方程（a0）是倍根方程，则抛物线与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；若点（m，n）在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程上述结论中正确的有（）ABCD【解析】关于x的方程（a0）是倍根方程，x2=2x1，抛物线的对称轴是直线x=3，抛物线与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故正确；点（m，n）在反比例函数的图象上，mn=4，解得x1=，x2=，x2=4x1，关于x的方程不是倍根方程；故选C【答案】C6.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，则=_.【解析】关于的方程： 的两个实数根分别为，.【答案】-37.若方程的两实根为a、b，则的值为_。【解析】方程x2x1=0的两实根为a、b，a+b=1，ab=1，【答案】-18设是方程的两个实数根，则的值为_。【解析】由是方程的两个实数根，则且，又【答案】20179.关于x的一元二次方程的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 10.一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，的取值范围为_。【解析】解一：由 解得：解二：设，则如图所示，只须，解得【答案】11若关于x的一元二次方程x24x+k3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值【解析】由根与系数的关系，得x1+x2=4，x1x2=k3又x1=3x2，联立、，解方程组得，k=x1x2+3=31+3=6则方程两根为x1=3，x2=1；k=6【答案】x1=3，x2=1；k=612.已知关于的方程（1）若这个方程有实数根，求实数k的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足,求实数k的值.【解析】分析：（1）根据方程有实根可得0，进而可得-2（k-3）2-41（k2-4k-1）0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2（k-3），x1x2=k2-4k-1，再由完全平方公式可得x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，代入x1+x2=2（k-3），x1x2= k2-4k-1可计算出m的值解析：（1）x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0有实数根，=4（k-3）2-4（k2-4k-1）=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k0，解得：k5；13.已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根满足【解析】(1) 方程两实根的积为5 所以，当时，方程两实根的积为5(2) 由得知：当时，所以方程有两相等实数根，故；当时，由于，故不合题意，舍去综上可得，时，方程的两实根满足【答案】（1）；（2）.14.已知关于x的一元二次方程 ，其中k为常数（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值解析：（1）证明：=（k5）24（1k）=k26k+21=（k3）2+120，无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）解：二次函数的图象不经过第三象限，二次项系数a=1，抛物线开口方向向上，=（k3）2+120，抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，x1+x2=5k0，x1x2=1k0，解得k1，即k的取值范围是k1；（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x13）（x23）0，即x1x23（x1+x2）+90，又x1+x2=5k，x1x2=1k，代入得，1k3（5k）+90，解得k则k的最大整数值为2【答案】（1）证明见解析；（2）k1；（3）2【解题反思】：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强。15.已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值【解析】(1) 假设存在实数，使成立 一元二次方程的两个实数根， ，又是一元二次方程的两个实数根， ，但不存在实数，使成立