资源描述
1.4 计数应用题学习目标1.进一步理解和掌握两个计数原理.2.进一步深化理解排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题类型一两个计数原理的应用例1电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示所以，完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“”号连接，“步”用“”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可跟踪训练1现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有_种例2有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有_种(用数字作答)反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为AD.完成AD这件事，需要经历三步，即AB，BC，CD.其中BC这步又分为三类，这就是步中有类其中mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数完成AD这件事的方法数为m1(m2m3m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法跟踪训练2如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有_种类型二有限制条件的排列问题例33个女生和5个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？反思与感悟(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中跟踪训练3用0到9这10个数字，(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？类型三排列与组合的综合应用例4有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？反思与感悟(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法跟踪训练4从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？例5将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，则共有_种不同的分配方案反思与感悟凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用“隔板法”求解：(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有NC种，即将n个元素中间的n1个空格中加入m1个“隔板”(2)任意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有NC种，即将n个相同元素与m1个相同“隔板”进行排序，在nm1个位置中选m1个安排“隔板”跟踪训练5用2,3,4,5,6,7六个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_1李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有_种不同的选择方式2包括甲、乙在内的7个人站成一排，其中甲在乙的左侧(可以不相邻)，有_种站法3从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是_4某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有_种5已知xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，则满足x1x2x3x4x5x62的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为_1解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理2对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏3对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏答案精析题型探究例128 800解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30292017 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20193011 400(种)结果因此共有17 40011 40028 800(种)不同结果跟踪训练148解析如图所示，将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况故不同的着色方法种数为432432148.例2264解析上午总测试方法有432124(种)我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B、C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一，则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有339(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步计数原理，总的测试方法共有2411264(种)跟踪训练221解析根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，如图所示，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有224(种)情况，其中全部断开的有1(种)情况，则其至少有1个接通的有413(种)情况，对于开关3、4、5，共有2228(种)情况，其中全部断开的有1(种)情况，则其至少有1个接通的有817(种)情况，则电路接通的情况有3721(种)例3解(1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A种不同排法对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A种不同的排法，因此共有AA4 320(种)不同的排法(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于5个男生排成一排有A种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A种方法，因此共有AA14 400(种)不同的排法(3)方法一(特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A种排法，所以共有AA14 400(种)不同的排法方法二(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的AA种排法和女生排在末位的AA种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有AA种不同的排法，所以共有A2AAAA14 400(种)不同的排法方法三(特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A种不同的排法，所以共有AA14 400(种)不同的排法(4)方法一因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有AA种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，这时末位就只能排男生，这样可有AAA种不同的排法因此共有AAAAA36 000(种)不同的排法方法二3个女生和5个男生排成一排有A种排法，从中扣去两端都是女生的排法有AA种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有AAA36 000(种)不同的排法(5)(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，共有20 160(种)不同的排法跟踪训练3解(1)可以组成9A4 536个四位数适合题意的四位奇数共有AAA2 240(个)(2)0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：第1类：三位数字全相同，如111,222，999，共9个；第2类：三位数字全不同，共有998648(个)，第3类：由间接法可求出，只含有2个相同数字的三位数，共有9009648243(个)例4解分三类：第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有CCCCA种第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有CCA种第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有CCA种故满足题意的所有不同的排法种数为CCCCA2CCA432.跟踪训练4解(1)五位数中不含数字0.第1步，选出5个数字，共有CC种选法第2步，排成偶数先排末位数，有A种排法，再排其他四位数字，有A种排法所以N1CCAA.(2)五位数中含有数字0.第1步，选出5个数字，共有CC种选法第2步，排顺序又可分为两小类：末位排0，有AA种排列方法；末位不排0.这时末位数有C种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有A种排法，其余3个数字则有A种排法所以N2CC(AAAA)所以符合条件的偶数个数为NN1N2CCAACC(AAAA)4 560.例515解析先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个利用“隔板法”可知，共有C15(种)不同的分配方案跟踪训练596解析用间接法：六个数字能构成的三位数共666216(个)，而无重复数字的三位数共有A654120(个)故所求的三位数的个数为21612096.当堂训练1142.2 5203.484.365.90
展开阅读全文