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二 用数学归纳法证明不等式举例课时作业A组基础巩固1用数学归纳法证明11)时，第一步即证下述哪个不等式成立()A12B12C12 D11，第一步n2，左边1，右边2，即1成立时，起始值n0至少应取()A7 B8C9 D10解析：1，n16，n7，故n08.答案：B3用数学归纳法证明 “Sn1(nN)”时，S1等于()A. BC. D解析：因为S1的首项为，末项为，所以S1，故选D.答案：D4设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)42，因此对于任意的k4，均有f(k)k2成立答案：D5某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时，命题也成立现已知当n5时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立解析：与“如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立”等价的命题为“如果当nk1时命题不成立，则当nk(kN)时，命题也不成立”故知当n5时，该命题不成立，可推得当n4时该命题不成立，故选C.答案：C6观察下列式子：1，1，1，可归纳出一般性结论：_.解析：由题意得1(nN)答案：1(nN)7用数学归纳法证明cos cos 3cos(2n1)(kN，ak，nN)，在验证n1时，左边计算所得的项是_答案：cos 8用数学归纳法证明：2n1n2n2(nN)时，第一步应验证_答案：n1时，221212，即449证明不等式：12(nN)证明：(1)当n1时，左边1，右边2，不等式成立(2)假设当nk(k1)时，命题成立，即12(kN)当nk1时，左边12，现在只需证明2，即证：22k1，两边平方，整理得01，显然成立2成立即1，11,1，12,1，由此猜测第n(nN)个不等式为()A1B1C1D1解析：1,3,7,15,31，的通项公式为an2n1，不等式左边应是1.，1，2，的通项公式为bn，不等式右边应是.答案：C2用数学归纳法证明不等式“(n2，nN)”时的过程中，由nk到nk1时，不等式的左边()A增加了一项B增加了两项，C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项解析：当nk时，左边.当nk1时，左边.故由nk到nk1时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项答案：C3用数学归纳法证明某不等式，其中证nk1时不等式成立的关键一步是：()，括号中应填的式子是_解析：由k2，联系不等式的形式可知，应填k2.答案：k24设a，b均为正实数，nN，已知M(ab)n，Nannan1b，则M，N的大小关系为_(提示：利用贝努利不等式，令x)解析：令x，M(ab)n，Nannan1b，(1x)n，1nx.a0，b0，x0.由贝努利不等式得(1x)n1nx.，MN答案：MN5对于一切正整数n，先猜出使tnn2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n(n1)lg(123n)证明：猜想当t3时，对一切正整数n使3nn2成立下面用数学归纳法进行证明当n1时，313112，命题成立假设nk(k1，kN)时，3kk2成立，则有3kk21.对nk1,3k133k3k23kk22(k21)3k21.(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0，3k1(k1)2，对nk1，命题成立由上知，当t3时，对一切nN，命题都成立再用数学归纳法证明：n(n1)lg(123n)当n1时，1(11)0lg 1，命题成立假设nk(k1，kN)时，k(k1)lg(123k)成立当nk1时，(k1)(k2)k(k1)2(k1)lg(123k)lg 3k1lg(123k)lg(k1)2lg123k(k1)，命题成立由上可知，对一切正整数n，命题成立6已知等比数列an的首项a12，公比q3，Sn是它的前n项和求证：.证明：由已知，得Sn3n1，等价于，即3n2n1.(*)法一：用数学归纳法证明上面不等式成立当n1时，左边3，右边3，所以(*)成立假设当nk时，(*)成立，即3k2k1，那么当nk1时，3k133k3(2k1)6k32k32(k1)1，所以当nk1时，(*)成立综合，得3n2n1成立所以.法二：当n1时，左边3，右边3，所以(*)成立当n2时，3n(12)nCC2C22C2n12n12n，所以(*)成立所以.
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