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课时跟踪训练(二十三)直线的方向向量与平面的法向量1若直线l平面，且l的方向向量为(m,2,4)，平面的法向量为，则m为_2设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件n0的点M的轨迹是_3设直线l1的方向向量为a(2，1,2)，直线l2的方向向量为b(1,1，m)，若l1l2，则m_.4在空间中，已知平面过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点C(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_.5已知a(1,4,3)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则x_，y_.6已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，2)，(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面经过点A，且是的法向量，M(x，y，z)是平面内任一点，试写出x、y、z满足的关系式7在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面A1BC1的一个法向量；(3)若M为CD的中点，求平面AMD1的一个法向量8.如图，已知ABCDA1B1C1D1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示AB3，BC4，AA12.(1)求平面B1CD1的一个法向量；(2)设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式答 案1解析：l的方向向量与平面的法向量平行.m1.答案：12解析：n0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念答案：过点A且与向量n垂直的平面3解析：l1l2，212m0.m.答案：4解析：平面xOy的法向量为n(0,0,1)，(3,4,0)，(3,0，a)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则则3x4yaz，取z1，则u，故cosn，u.又a0，a.答案：5解析：由l1l2，得，解得x12，y9.答案：1296解：(1)B(2,0,0)，C(0,2，2)，(2,2，2)，即(2,2，2)为直线BC的一个方向向量(2)由题意(x2，y2，z2)，平面，AM，.(2,2，2)(x2，y2，z2)0.2(x2)2(y2)2(z2)0.化简得xyz20.7.解：以A为坐标原点，分别以，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a.(1)平面ABCD即为坐标平面xOy，n1(0,0,1)为其一个法向量(2)B1D平面A1BC1，又(0，a,0)(a,0，a)(a，a，a)，n2(1,1，1)为平面A1BC1的一个法向量(3)设n(x0，y0，z0)为平面AMD1的一个法向量，(0，a，a)，令x02，则y01，z01，n(2，1,1)为平面AMD1的一个法向量8解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系Axyz中，各点坐标为B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得(0,4，2)，(3,0,2)；设平面B1CD1的一个法向量为a(x，y，z)，则a，a，从而a0，a0，所以0x4y2z0，3x0y2z0，解方程组得到不妨取z6，则y3，x4.所以a(4,3,6)就是平面B1C1D的一个法向量(2)由题意可得(x3，y，z2)，因为a(4,3,6)是平面B1CD1的一个法向量，所以a，从而a0，即4(x3)3y6(z2)0,4x3y6z24，所以满足题意的关系式是4x3y6z24.
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