2018-2019学年高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 一 比较法讲义（含解析）新人教A版选修4-5.doc

一 比较法1作差比较法(1)作差比较法的理论依据ab0ab，ab0a0，若1，则ab；若1，则ab；b1，则ab；若b.(2)作商比较法解题的一般步骤：判定a，b的符号；作商；变形整理；判定与1大小关系；得出结论作差比较法证明不等式例1已知xy，求证：x3x2yxy2x2yxy2y3.思路点拨因为不等式两边是同一种性质的整式，所以可以直接通过作差比较大小证明x3x2yxy2(x2yxy2y3)x(x2xyy2)y(x2xyy2)(xy)(x2xyy2)(xy).因为xy，所以xy0，于是(xy)0，所以x3x2yxy2x2yxy2y3.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论1求证：a2b22(ab1)证明：a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)2已知a，bR，nN，求证：(ab)(anbn)2(an1bn1)证明：(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnbanbn12an12bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan)当ab0时，bnan0，ab0，(ab)(bnan)a0时，bnan0，ab0.(ab)(bnan)0时，(bnan)(ab)0.综合可知，对于a，bR，nN，都有(ab)(anbn)2(an1bn1).作商比较法证明不等式例2设a0，b0，求证：aabb(ab).思路点拨不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用作商比较法证明aabb0，(ab)0，ab.当ab时，显然有1；当ab0时，1，0，由指数函数单调性，有1；当ba0时，01，1.综上可知，对任意实数a，b，都有aabb(ab).当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较3已知abc0.求证：a2ab2bc2cabcbcacab.证明：由abc0，得abcbcacab0.作商aabaacbbcbbaccaccbabacbc.由abc0，得ab0，ac0，bc0，且1，1，1.abacbc1.a2ab2bc2cabcbcacab.4设nN，n1，求证logn(n1)log(n1)(n2)证明：因为n1，所以logn(n1)0，log(n1)(n2)0，所以log(n1)(n2)log(n1)n2221.故log(n1)(n2)logn(n1)，即原不等式得证.比较法的实际应用例3甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？思路点拨先用m，n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较解设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2 ，依题意有mns，t2.t1，t2.t1t2.其中s，m，n都是正数，且mn，t1t20.即t1a时，设max(x0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)101.2 x，Q(x)81.4x.P(x)Q(x)20.2x0.2(10x)，当x10时，P(x)Q(x)，此时选择起步价为10元的出租车较为合适当xQ(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适当x10时，P(x)Q(x)，两种出租车任选，费用相同1下列关系中对任意ab0的实数都成立的是()Aa2b2Blg b21 D.a2b2解析：选Babb0.(a)2(b)20.即a2b20.1.又lg b2lg a2lglg 10，lg b2Q BP0恒成立，QP.法二：PQ，a2a10恒成立且a4a20，PQ0，即QP.3已知a0，b0，m，n，p，则m，n，p的大小关系是()Amnp BmnpCnmp Dnmp解析：选A由m，n，得ab0时，mn, 可排除B、C项比较A、D项，不必论证与p的关系取特殊值a4，b1，则m4，n213，mn，可排除D，故选A.4设mn，nN，a(lg x)m(lg x)m，b(lg x)n(lg x)n，x1，则a与b的大小关系为()AabBabC与x值有关，大小不定D以上都不正确解析：选Aablgmxlgmxlgnxlgnx(lgmxlgnx)(lgmxlgnx)(lgmxlgnx)(lgmxlgnx).x1，lg x0.当0lg xb；当lg x1时，ab；当lg x1时，ab.应选A.5若0x1，则与的大小关系是_解析：.因为0x1，所以0.所以.答案：Q，则实数a，b满足的条件为_解析：PQa2b25(2aba24a)a2b252aba24aa2b22ab14a24a(ab1)2(a2)2，PQ，PQ0，即(ab1)2(a2)20，ab1或a2.答案： ab1或a27一个个体户有一种商品，其成本低于元如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应_出售(填“月初”或“月末”)解析：设这种商品的成本费为a元月初售出的利润为L1100(a100)2.5%，月末售出的利润为L21202%a，则L1L21000.025a2.51200.02a0.045，a，L1L2，月末出售好答案：月末8已知x，yR, 求证：sin xsin y1sin xsin y.证明：sin xsin y1sin xsin ysin x(1sin y)(1sin y)(1sin y)(sin x1)1sin x1，1sin y1.1sin y0，sin x10.(1sin y)(sin x1)0.即sin xsin y1sin xsin y.9若a0，b0，c0，求证：aabbcc(abc).证明：不妨设abc0，那么由指数函数的性质，有1，1，1.所以abc1.原不等式成立10已知abc，xyz ，则axbycz，axcybz，bxaycz，bxcyaz中最大的是哪一个？证明你的结论解：axbycz最大理由如下：axbycz(axcybz)(bc)y(cb)z(bc)(yz)，abc，xyz，bc0，yz0，即axbyczaxcybz.axbycz(bxaycz)(ab)x(ba)y(ab)(xy)0，axbyczbxaycz.axbycz(bxcyaz)(ab)x(bc)y(ca)z(ab)x(bc)y(cb)(ba)z(ab)(xz)(bc)(yz)0，axbyczbxcyaz.故axbycz最大