2018-2019学年高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 一 比较法讲义(含解析)新人教A版选修4-5.doc

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一 比较法1作差比较法(1)作差比较法的理论依据ab0ab,ab0a0,若1,则ab;若1,则ab;b1,则ab;若b.(2)作商比较法解题的一般步骤:判定a,b的符号;作商;变形整理;判定与1大小关系;得出结论作差比较法证明不等式例1已知xy,求证:x3x2yxy2x2yxy2y3.思路点拨因为不等式两边是同一种性质的整式,所以可以直接通过作差比较大小证明x3x2yxy2(x2yxy2y3)x(x2xyy2)y(x2xyy2)(xy)(x2xyy2)(xy).因为xy,所以xy0,于是(xy)0,所以x3x2yxy2x2yxy2y3.(1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少(2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法(3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断“差式”的符号,常将“差式”变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的“差式”是某字母的二次三项式时,常用配方法判断符号有时会遇到结果符号不能确定,这时候要对差式进行分类讨论1求证:a2b22(ab1)证明:a2b22(ab1)(a1)2(b1)20,a2b22(ab1)2已知a,bR,nN,求证:(ab)(anbn)2(an1bn1)证明:(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnbanbn12an12bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan)当ab0时,bnan0,ab0,(ab)(bnan)a0时,bnan0,ab0.(ab)(bnan)0时,(bnan)(ab)0.综合可知,对于a,bR,nN,都有(ab)(anbn)2(an1bn1).作商比较法证明不等式例2设a0,b0,求证:aabb(ab).思路点拨不等式两端都是指数式,它们的值均为正数,可考虑用作商比较法证明aabb0,(ab)0,ab.当ab时,显然有1;当ab0时,1,0,由指数函数单调性,有1;当ba0时,01,1.综上可知,对任意实数a,b,都有aabb(ab).当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时,常采用作商比较法,用作商比较法时,如果需要在不等式两边同乘某个数,要注意该数的正负,且最后结果与1比较3已知abc0.求证:a2ab2bc2cabcbcacab.证明:由abc0,得abcbcacab0.作商aabaacbbcbbaccaccbabacbc.由abc0,得ab0,ac0,bc0,且1,1,1.abacbc1.a2ab2bc2cabcbcacab.4设nN,n1,求证logn(n1)log(n1)(n2)证明:因为n1,所以logn(n1)0,log(n1)(n2)0,所以log(n1)(n2)log(n1)n2221.故log(n1)(n2)logn(n1),即原不等式得证.比较法的实际应用例3甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走如果mn,问甲、乙二人谁先到达指定地点?思路点拨先用m,n表示甲、乙两人走完全程所用时间,再进行比较解设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2 ,依题意有mns,t2.t1,t2.t1t2.其中s,m,n都是正数,且mn,t1t20.即t1a时,设max(x0),乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元,则P(x)101.2 x,Q(x)81.4x.P(x)Q(x)20.2x0.2(10x),当x10时,P(x)Q(x),此时选择起步价为10元的出租车较为合适当xQ(x),此时选起步价为8元的出租车较为合适当x10时,P(x)Q(x),两种出租车任选,费用相同1下列关系中对任意ab0的实数都成立的是()Aa2b2Blg b21 D.a2b2解析:选Babb0.(a)2(b)20.即a2b20.1.又lg b2lg a2lglg 10,lg b2Q BP0恒成立,QP.法二:PQ,a2a10恒成立且a4a20,PQ0,即QP.3已知a0,b0,m,n,p,则m,n,p的大小关系是()Amnp BmnpCnmp Dnmp解析:选A由m,n,得ab0时,mn, 可排除B、C项比较A、D项,不必论证与p的关系取特殊值a4,b1,则m4,n213,mn,可排除D,故选A.4设mn,nN,a(lg x)m(lg x)m,b(lg x)n(lg x)n,x1,则a与b的大小关系为()AabBabC与x值有关,大小不定D以上都不正确解析:选Aablgmxlgmxlgnxlgnx(lgmxlgnx)(lgmxlgnx)(lgmxlgnx)(lgmxlgnx).x1,lg x0.当0lg xb;当lg x1时,ab;当lg x1时,ab.应选A.5若0x1,则与的大小关系是_解析:.因为0x1,所以0.所以.答案:Q,则实数a,b满足的条件为_解析:PQa2b25(2aba24a)a2b252aba24aa2b22ab14a24a(ab1)2(a2)2,PQ,PQ0,即(ab1)2(a2)20,ab1或a2.答案: ab1或a27一个个体户有一种商品,其成本低于元如果月初售出可获利100元,再将本利存入银行,已知银行月息为2.5%,如果月末售出可获利120元,但要付成本的2%的保管费,这种商品应_出售(填“月初”或“月末”)解析:设这种商品的成本费为a元月初售出的利润为L1100(a100)2.5%,月末售出的利润为L21202%a,则L1L21000.025a2.51200.02a0.045,a,L1L2,月末出售好答案:月末8已知x,yR, 求证:sin xsin y1sin xsin y.证明:sin xsin y1sin xsin ysin x(1sin y)(1sin y)(1sin y)(sin x1)1sin x1,1sin y1.1sin y0,sin x10.(1sin y)(sin x1)0.即sin xsin y1sin xsin y.9若a0,b0,c0,求证:aabbcc(abc).证明:不妨设abc0,那么由指数函数的性质,有1,1,1.所以abc1.原不等式成立10已知abc,xyz ,则axbycz,axcybz,bxaycz,bxcyaz中最大的是哪一个?证明你的结论解:axbycz最大理由如下:axbycz(axcybz)(bc)y(cb)z(bc)(yz),abc,xyz,bc0,yz0,即axbyczaxcybz.axbycz(bxaycz)(ab)x(ba)y(ab)(xy)0,axbyczbxaycz.axbycz(bxcyaz)(ab)x(bc)y(ca)z(ab)x(bc)y(cb)(ba)z(ab)(xz)(bc)(yz)0,axbyczbxcyaz.故axbycz最大
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