2018-2019学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法讲义（含解析）新人教A版选修4-5.doc

一 数学归纳法 1数学归纳法的概念先证明当n取第一个值n0(例如可取n01)时命题成立，然后假设当nk(kN，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳法2数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明3数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤(1)证明当n取第一个值n0(如取n01或2等)时命题成立；(2)假设当nk(kN，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立由此可以断定，对于任意不小于n0的正整数n，命题都成立利用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明12223242(1)n1n2(1)n1.思路点拨首先判断第1步是否满足，然后考虑由nk到nk1时增加了哪些项，进行分析变形，从而证明等式证明(1)当n1时，左边121，右边(1)01，所以等式成立(2)假设nk(kN，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k，所以nk1时，等式也成立由(1)(2)得对任意nN，有12223242(1)n1n2(1)n1.利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设1在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n，均有12成立时，(1)第一步检验的初始值n0是多少？(2)第二步归纳假设n2k时(kN)等式成立，需证明n为何值时，方具有递推性；(3)若第二步归纳假设nk(k为正偶数)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立解：(1)n0为2.此时左边为1，右边为2.(2)假设n2k(kN)时，等式成立，就需证明n2k2(即下一个偶数)时，命题也成立(3)若假设nk(k为正偶数)时，等式成立，就需证明nk2(即k的下一个正偶数)时，命题也成立2用数学归纳法证明：(nN)证明：(1)当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立(2)假设nk(kN，k1)时，等式成立即，当nk1时，左边，当nk1时，等式也成立由(1)(2)知对任意nN，等式成立用数学归纳法证明整除问题例2求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除(nN)证明(1)当n1时，a2(a1)a2a1，可被a2a1整除(2)假设nk(kN，k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假设可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，所以ak2(a1)2k1能被a2a1整除，即nk1时命题也成立由(1)(2)可知命题对所有nN都成立利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这就往往要涉及到“添项”“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证3用数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN)能被9整除证明：(1)当n1时，47127能被9整除命题成立(2)假设nk时命题成立，即(3k1)7k1能被9整除，当nk1时，(3k3)17k113k1377k17(3k1)7k1217k(3k1)7k118k7k67k217k(3k1)7k118k7k277k，由归纳假设(3k1)7k1能被9整除，又因为 18k7k277k也能被9整除，所以3(k1)17k11能被9整除，即nk1时命题成立则由(1)(2)可知对所有正整数n命题成立4用数学归纳法证明：1(3x)n(nN)能被x2整除证明：(1)n1时，1(3x)(x2)，能被x2整除，命题成立(2)假设nk(k1)时，1(3x)n能被x2整除，则可设1(3x)k(x2)f(x)(f(x)为k1次多项式)，当nk1时，1(3x)k11(3x)(3x)k1(3x)1(x2)f(x)1(3x)(x2)(3x)f(x)(x2)(x2)(3x)f(x)(x2)1(3x)f(x)，能被x2整除，即当nk1时命题成立由(1)(2)可知，对nN，1(3x)n能被x2整除.用数学归纳法证明几何问题例3平面上有n(n2，且nN)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n条直线共有f(n)个交点思路点拨本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用，解答本题应搞清交点随n的变化而变化的规律，然后采用数学归纳法证明证明(1)当n2时，符合条件是两直线只有1个交点，又f(2)2(21)1.当n2时，命题成立(2)假设当nk(k2且kN)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)k(k1)，则当nk1时，任取其中一条直线记为l，如图，剩下的k条直线为l1，l2，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为f(k).由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，lk的交点共有k个f(k1)f(k)kk.当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，命题对一切nN且n2成立用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从nk到nk1时，新增加的量是多少一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k1个中分出1个来，剩下的k个利用假设5求证：凸n边形对角线条数f(n)(nN，n3)证明：(1)当n3时，即f(3)0时，三角形没有对角线，命题成立(2)假设nk(kN，k3)时命题成立，即凸k边形对角线条数f(k).将凸k边形A1A2Ak在其外面增加一个新顶点Ak1，得到凸k1边形A1A2AkAk1，Ak1依次与A2，A3，Ak1相连得到对角线k2条，原凸k边形的边A1Ak变成了凸k1边形的一条对角线，则凸k1边形的对角线条数为f(k)k21k1f(k1)，即当nk1时，结论正确根据(1)(2)可知，命题对任何nN，n3都成立6求证：平面内有n(n2)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n2条线段(或射线)证明：(1)当n2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立(2)假设当nk时，命题成立，即k条满足条件的直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)那么nk1时，取出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)，直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又被这k条直线分成k1部分，所以这k1条直线彼此互相分割成k2kk1(k1)2条线段(或射线)，即nk1时，命题成立由(1)(2)知，命题成立1数学归纳法证明中，在验证了n1时命题正确，假定nk时命题正确，此时k的取值范围是()AkNBk1，kNCk1，kN Dk2，kN解析：选C数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.2用数学归纳法证明“12222n22n31”，在验证n1时，左边计算所得的式子为()A1 B12C1222 D122223.解析：选D当n1时，左边122223.3用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除”，利用归纳法假设证明nk1时，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：选A假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可4平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()An1 B2nC. Dn2n1解析：选C1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域5观察式子11,14(12)，149123，猜想第n个式子应为_答案：14916(1)n1n2(1)n16用数学归纳法证明：“1427310n(3n1)n(n1)2.nN”时，若n1，则左端应为_解析：n1时，左端应为144.答案：47记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形图形故f(k1)f(k).答案：8用数学归纳法证明对于整数n0，An11n2122n1能被133整除证明：(1)当n0时，A011212133能被133整除(2)假设nk时，Ak11k2122k1能被133整除当nk1时，Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1.nk1时，命题也成立根据(1)(2)可知，对于任意整数n0，命题都成立9有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)n2n2(nN)个部分证明：(1)当n1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)1122，所以n1时命题成立(2)假设nk(k1)时命题成立即k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分则nk1时，在k1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.当nk1时，命题成立综合(1)(2)可知，对一切nN，命题成立10试用n(n2，nN)表示的值，并用数学归纳法证明解：当n2时，原式1；当n3时，原式；当n4时，原式.猜想.下面用数学归纳法证明这个结论(1)当n2时，易知结论成立(2)假设nk(kN，k2)时结论成立，即，则当nk1时， 即当nk1时，结论成立由(1)(2)可知对一切nN，结论都成立