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专题34 圆锥曲线综合应用一、考纲要求：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想二、概念掌握和解题上注意点： 1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x(或y)，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：(1）.消元后需要讨论含x2(或y2)项的系数是否为0.(2）.重视“判别式”起的限制作用.2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.3.处理中点弦问题的常用方法(1）.点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2）.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.三、高考考题题例分析例1.(2017全国卷)设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率，(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程【答案】(1)1；(2) yx7.(2)由 y，得y.例2. (2017浙江高考)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)x.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值【答案】(1) (1,1)；(2) 【解析】(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为xb0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为 ()A1B1C1D1【答案】A【解析】因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2.又a2b2c2，所以bc3，a3，所以E的方程为1.11已知两定点A(0，2)，B(0,2)，点P在椭圆1上，且满足|2，则为 ()A12B12C9D9【答案】D12.抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线C交于A，B两点若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为 ()Ay2x2By22xCx22yDy22x【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y22px，则两式相减可得2p(y1y2)kAB22，即可得p1，抛物线C的方程为y22x.二、填空题13已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为_【答案】16【解析】直线l的方程为yx1，由得y214y10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y214，|AB|y1y2p14216.14已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_【答案】x2y8015已知椭圆1(0b0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_【答案】2【解析】如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2. 因为|AB|4(k21)，所以当k0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4.20已知椭圆C：y21(a0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2y2相切(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22，证明：直线AB过定点【答案】(1) y21；(2)见解析由(12k2)x24kmx2m220，得x1x2，x1x2，由k1k2222，即(22k)x1x2(m1)(x1x2)(22k)(2m22)(m1)(4km)，即(1k)(m21)km(m1)，由m1，得(1k)(m1)kmkm1，即ykxm(m1)xmm(x1)yx，故直线AB过定点(1，1)综上，直线AB过定点(1，1)21已知点A，B是椭圆C：1(ab0)的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MNBP于点N.(1)求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；(2)若直线MN过焦点F，(R)，求实数的值. 【答案】(1)见解析；(2) .(2)设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，由已知F(c,0)，直线AP的方程为yk1(xa)，直线l的方程为xa，则M(a,2ak1)MNBP，kMNk21.由(1)知k1k2，kMNk1.又F，N，M三点共线，得kMFkMN，即k1，得2b2a(ac)b2a2c2，2(a2c2)a2ac，化简整理得2c2aca20，即210，解得或1(舍去)a2c.由，得(ac,0)(ac,0)，将a2c代入，得(c,0)(3c,0)，即c3c，.22已知抛物线C1的方程为y24x，椭圆C2与抛物线C1有公共的焦点，且C2的中心在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1分别交于A，B两点(1)若，求直线l的方程；(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C1上，直线l与椭圆C2有公共点，求椭圆C2的长轴长的最小值. 【答案】(1) yx4或yx4； (2) (2)设P(m，n)，则OP的中点为.因为O，P两点关于直线yk(x4)对称，所以解得将其代入抛物线方程，得24.所以k21.
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