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2.6.1曲线与方程学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法知识点曲线与方程的概念思考到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案yx.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0x0或y0x0，即(x0，y0)是方程yx的解；反之，如果(x0，y0)是方程yx或yx的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等梳理如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)0的解(条件，即纯粹性)，且以方程f(x，y)0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上(条件，即完备性)，那么，方程f(x，y)0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)0的曲线特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法曲线C的点集和方程f(x，y)0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上定义中的条件说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质1过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x3.()2到y轴距离为2的点的直线方程x2.()3方程1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线()类型一曲线与方程的概念例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是正确的，下列命题中正确的是_(填序号)方程f(x，y)0的曲线是C；方程f(x，y)0的曲线不一定是C；f(x，y)0是曲线C的方程；以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上答案解析不论方程f(x，y)0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以，错误反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程跟踪训练1设方程f(x，y)0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，给出下列命题：坐标满足方程f(x，y)0的点都不在曲线C上；曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)0；坐标满足方程f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0.其中判断正确的是_(填序号)答案解析“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)0的点不都在曲线C上”是正确的“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故错，显然错类型二点与曲线的位置关系例2方程(x4y12)(3)log2(x2y)0表示的曲线经过点A(0，3)，B(0,4)，C，D(8,0)中的_个答案2解析由对数的真数大于0，得x2y0，A(0，3)，C不符合要求；将B(0,4)代入方程检验，符合要求；将D(8,0)代入方程检验，符合要求反思与感悟点与实数解建立了如下关系：C上的点(x0，y0)?f(x，y)0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可跟踪训练2证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2y225，并判断点M1(3，4)，M2(2，2)是否在这个圆上解(1)设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以5，也就是xy25，即(x0，y0)是方程x2y225的解(2)设(x0，y0)是方程x2y225的解，那么xy25，两边开方取算术平方根，得5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点由(1)，(2)可知，x2y225是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程把点M1(3，4)的坐标代入方程x2y225，左右两边相等，(3，4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(2，2)的坐标代入方程x2y225，左右两边不等，(2，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上类型三曲线与方程关系的应用例3判断下列结论的正误，并说明理由(1)到x轴距离为4的点的直线方程为y4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy1；(3)ABC的顶点A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x0.解(1)因到x轴距离为4的点的直线方程还有一个y4，即不具备完备性所以结论错误(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x|y|1，即xy1.所以所给问题不具备完备性所以结论错误(3)中线AD是一条线段，而不是直线，应为x0(3y0)，所以所给问题不具备纯粹性所以结论错误反思与感悟判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断跟踪训练3若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR)，求k的取值范围解曲线y2xy2xk0过点(a，a)，a2a22ak0.k2a22a22.k，k的取值范围是.1已知坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上，那么下列说法正确的是_(填序号)曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)0；凡坐标不适合f(x，y)0的点都不在曲线C上；不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)0；不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)0，有些不适合f(x，y)0.答案2已知方程1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为_(填序号)(2,0)(1,2)(4,0)(3,1)答案解析将点(2,0)和(4,0)代入方程后成立，而，代入后方程不成立，故只有符合题意3若点M在方程x2(y1)210所表示的曲线上，则实数m_.答案或2解析依题意得2(m1)210，解得m2或m.所以m的值为2或.4方程4x2y26x3y0表示的图形为_答案两条相交直线解析原方程可化为(2xy)(2xy3)0，即2xy0或2xy30，原方程表示直线2xy0和直线2xy30.5方程(x24)2(y24)20表示的图形是_答案4个点解析由题意，得或或或方程(x24)2(y24)20表示的图形是4个点1判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上2已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题一、填空题1方程y3x2 (x1)表示的曲线为_(填序号)一条直线一条射线一条线段不能确定答案解析方程y3x2表示的曲线是一条直线，当x1时，它表示一条射线2曲线C的方程为y2x1(1x5)，则下列四个点中在曲线C上的是_(填序号) (0,0)(7,15)(2,3)(4,4)答案解析由y2x1(1x0，得k1且k0，故“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件8若直线kxy30与椭圆1有一个公共点，则k的值为_答案解析联立方程组消去y并整理，得(4k21)x224kx200，当16(16k25)0，即k时，直线与椭圆有一个公共点9如果曲线C上的点满足方程F(x，y)0，有以下说法：曲线C的方程是F(x，y)0；方程F(x，y)0的曲线是C；坐标满足方程F(x，y)0的点在曲线C上；坐标不满足方程F(x，y)0的点不在曲线C上其中正确的是_(填序号)答案10已知两定点A(2,0)，B(1,0)，若动点P满足PA2PB，则点P的轨迹所围的面积为_答案4解析设P(x，y)，PA2PB，(x2)2y24(x1)24y2，(x2)2y24.点P的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所围成的面积S224.11下列命题正确的是_(填序号)ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x0；到x轴距离为5的点的轨迹方程是y5；曲线2x23y22xm0通过原点的充要条件是m0.答案解析对照曲线和方程的概念，中“中线AO的方程是x0 (0y3)”；而中，动点的轨迹方程为|y|5.从而只有是正确的二、解答题12已知曲线C的方程为x，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积解由x，得x2y24.又x0，方程x表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S42.所以所求图形的面积为2.13已知两曲线f(x，y)0与g(x，y)0的一个交点为P(x0，y0)求证：点P在曲线f(x，y)g(x，y)0(R)上证明因为P(x0，y0)是两曲线的交点，所以点P的坐标既满足方程f(x，y)0，又满足方程g(x，y)0，即f(x0，y0)0且g(x0，y0)0，故f(x0，y0)g(x0，y0)0，所以P(x0，y0)的坐标是方程f(x，y)g(x，y)0的解，故点P在曲线f(x，y)g(x，y)0(R)上三、探究与拓展14已知方程xy0；0；x2y20；1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是_答案解析是正确的；不正确，如点(1，1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程0；不正确如点(1,1)满足方程x2y20，但它不在曲线C上；不正确如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程1.15方程(2x3y5)(1)0表示的曲线是什么？解因为(2x3y5)(1)0，所以可得或者10，即2x3y50(x3)或者x4，故方程表示的曲线为一条射线2x3y50(x3)和一条直线x4.
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