2018-2019学年高中数学上学期第十二周周练题.doc

xx-2019学年高中数学上学期第十二周周练题一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1. 若曲线x21k+y21+k=1表示椭圆，则k的取值范围是()A. k1B. k1C. 1k1D. 1k0或0k01+k01k1+k，解出即可得出本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题【解答】解：曲线x21k+y21+k=1表示椭圆，1k01+k01k1+k，解得1kb0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A. 12B. 33C. 22D. 24【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的简单性质.属基础题先根据题意可知c=b，进而求得a和c的关系，离心率可得【解答】解：依题意可知2c=2b，即b=c，所以a=b2+c2=2c椭圆的离心率e=ca=22故选C4. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点.若AF1B的周长为43，则C的方程为()A. x23+y22=1B. x23+y2=1C. x212+y28=1D. x212+y24=1【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题利用AF1B的周长为43，求出a=3，根据离心率为33，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程【解答】解：AF1B的周长为43，AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=43，a=3，离心率为33，ca=33，c=1，b=a2c2=2，椭圆C的方程为x23+y22=1故选A5. 椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是()A. x225+y29=1B. y225+x29=1或x225+y29=1C. y225 +x29 =1D. y225+x216=1或x216+y29=1【答案】B【解析】【分析】由题意求得c=4，a=5，b2=a2c2=9，分类讨论即可求得椭圆的标准方程.本题考查椭圆的标准方程，考查分类讨论思想，属于基础题【解答】解：由题意可知：焦距为2c=8，则c=4，2a=10，a=5，b2=a2c2=9，当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：x225+y29=1，当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：y225 +x29 =1，故椭圆的标准方程为：x225+y29=1或y225 +x29 =1，故选B6. 已知椭圆：x2k+y22=1，若椭圆的焦距为2，则k为()A. 1或3B. 1C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的简单性质直接求解.本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的标准方程中各字母的几何意义，属于简单题【解答】若焦点在y轴上，椭圆x2k+y22=1中，a2=2，b2=k，则c=2k，2c=22k=2，解得k=1若焦点在x轴上，椭圆x2k+y22=1中，a2=k，b2=2，则c=k2，2c=2k2=2，解得k=3综上所述，k的值是1或3故选A7. 设P为椭圆x29+y24=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=2：1则PF1F2的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】先由椭圆的方程求出|F1F2|=25，再由|PF1|=2|PF2|，求出|PF1|=4，|PF2|=2，由此能够推导出PF1F2是直角三角形，其面积=12|PF1|PF2|.本题考查椭圆的性质，判断出PF1F2是直角三角形能够简化运算【解答】解：|PF1|：|PF2|=2：1，可设|PF1|=2k，|PF2|=k，由题意可知2k+k=6，k=2，|PF1|=4，|PF2|=2，|F1F2|=25，PF1F2是直角三角形，其面积=12|PF1|PF2|=1242=4故选C8. 若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为()A. 2B. 3C. 6D. 8【答案】C【解析】解：由题意，F(1,0)，设点P(x0,y0)，则有x024+y023=1，解得y02=3(1x024)，因为FP=(x0+1,y0)，OP=(x0,y0)，所以OPFP=x0(x0+1)+y02=x024+x0+3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=2，因为2x02，所以当x0=2时，OPFP取得最大值224+2+3=6，故选C先求出左焦点坐标F，设P(x0,y0)，根据P(x0,y0)在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量FP、OP，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力9. 已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的一点，若PF1PF2，且|PF1|=2|PF2|，则此椭圆的离心率为()A. 12B. 23C. 13D. 53【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义的应用，考查勾股定理及椭圆离心率公式的应用，考查计算能力，属于中档题.由题意可知：设|PF1|=2m，|PF2|=m，根据椭圆定义，结合勾股定理计算求解【解答】解：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)焦点在x轴上，设|PF1|=2m，|PF2|=m，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a，2m+m=2a，即a=3m2，PF1PF2，由勾股定理可知：|PF1|2+|PF2|2=丨F1F2丨2，4m2+m2=(2c)2，即5m2=4c2，c=52m，e=ca=52m32m=53，故选D10. 已知椭圆的方程为x29+y24=1，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则ABF2的周长的最小值为()A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】解：椭圆的方程为x29+y24=1，2a=6，2b=4，c=25，连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性可得ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，当AB位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为2b=4，l=2a+|AB|=6+|AB|6+4=10故选：D利用三角形的周长以及椭圆的定义，求出周长的最小值本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义及焦点三角形的性质，考查数形结合思想，属于基础题11. 设椭圆x216+y212=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足PF1PF2=9，则|PF1|PF2|的值为()A. 8B. 10C. 12D. 15【答案】D【解析】解：P是椭圆x216+y212=1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=4，PF1PF2=9，即|PF1|PF2|cos=9，16=|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos =(|PF1|+|PF2|)22|PF1|PF2|18=642|PF1|PF2|18=16，|PF1|PF2|=15，故选：D根据椭圆的定义可判断|PF1|+|PF2|=8，平方得出|PF1|2+|PF2|2，再利用余弦定理求解即可本题考查了椭圆的定义以及简单性质的应用，焦点三角形的问题，结合余弦定理整体求解，属于中档题12. 已知椭圆C：x24+y2b2=1(0b2)，作倾斜角为34的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，若直线OM的斜率为12，则b=A. 1B. 2C. 3D. 62【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质应用，以及直线与椭圆的位置关系，由题意，利用“点差法”，结合直线斜率，得到结果【解答】解：设Ax1,y1,Bx2,y2，Mx0,y0，依题意，kAB=tan34=1,x0=x1+x22,y0=y1+y22，x124+y12b2=1,x224+y22b2=1，两式相减，得：x12x224+y12y22b2=0，x1+x2x1x24=y1+y2y1y2b2，2x04=2y0b21，x02=2y0b2，直线OM的斜率为12，y0x0=12，b24=12，0bb0)，且2c=8，即c=4又2a=6b，a=3b，结合a2=b2+c2，得9b2=b2+16，b2=2，则a2=9b2=18椭圆标准方程为x218+y22=1若椭圆的焦点在y轴，同理可得y218+x22=1故答案为：x218+y22=1或y218+x22=1若椭圆的焦点在x轴，可设出椭圆标准方程，并得到c，再由长轴长是短轴长的3倍可得a=3b，结合隐含条件a2=b2+c2求得a，b的值，则椭圆方程可求，若椭圆的焦点在y轴，同理可得椭圆方程本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单几何性质，考查分类讨论思想，是基础题14. 方程x215k+y2k9=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_ 【答案】(12,15)【解析】解：方程x215k+y2k9=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得：k915k0，解得k(12,15) 故答案为：(12,15)利用椭圆的简单性质列出不等式求解即可本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力15. 设椭圆x2m+y23=1的两个焦点F1，F2都在x轴上，P是第一象限内该椭圆上的一点，且sinPF1F2+sinPF2F1sinF1PF2=2，则正数m的值为_【答案】4【解析】【分析】本题考查椭圆的定义，几何性质、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，由椭圆x2m+y23=1的两个焦点F1，F2都在x轴上，得m3，正弦定理得：PF1+PF1F1F2=2a2c=2，由此能求出m【解答】解：椭圆x2m+y23=1的两个焦点F1，F2都在x轴上，m3，P是第一象限内该椭圆上的一点，且sinPF1F2+sinPF2F1sinF1PF2=2，由正弦定理得：PF1+PF1F1F2=2a2c=2，e=ca=m3m=12，解得m=4故答案为416. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0左右焦点分别是F11,0,F21,0，点A是直线x+y2=0上的动点，若点A在椭圆C上，则椭圆C的离心率的最大值为 解：由题可知x2a2+y2b2=1x+y2=0，化简得a2+b2x24a2x+4a2a2b2=0，点A在椭圆C上，所以上方程有解，所以=4a224a2+b24a2a2b20，又c=1，b2=a21，所以有a252，a102，所以e=ca=1a1102=105，故答案为105或者通过对称性和椭圆的定义解决问题，比通解更快、更直观。17. 求适合下列条件的椭圆标准方程：(1)与椭圆x22+y2=1有相同的焦点，且经过点(1,32)(2)经过A(2,22),B(2,32)两点【答案】解：(1)椭圆x22+y2=1的焦点坐标为(1,0)，椭圆过点(1,32)，2a=(1+1)2+322+(11)2+322=4，a=2，b=3，椭圆的标准方程为x24+y23=1；(2)设所求的椭圆方程为x2m+y2n=1，m0，n0，mn.把A(2,22),B(2,32)两点代入，得：4m+12n=12m+34n=1，解得m=8，n=1，椭圆方程为x28+y2=118. (1)【答案】解：设所求点P(x,y)，F1(1,0)，F2(1,0)，动圆半径为r，由题易得|PF1|=6r，|PF2|=2+r，|PF1|+|PF2|=82，由点P到两定点F1，F2距离之和为定长8，且大于|F1F2|=2c=2，满足椭圆定义，轨迹方程：x216+y215=1动圆圆心P的轨迹方程x216+y215=1(2)方程x2+(y2)2+x2+(y+2)2=10化简的结果是A. x225+y216=1B. x225+y221=1C. x225+y24=1D. y225+x221=1【答案】D【解析】解：方程x2+(y2)2+x2+(y+2)2=10，表示平面内到定点F1(0,2)、F2(0,2)的距离的和是常数10(104)的点的轨迹，它的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴2a=10，焦距2c=4的椭圆；a=5，c=2，b=254=21；椭圆的方程是y225+x221=1，即为化简的结果故选：D根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程本题考查了椭圆的定义问题，解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么，从而得到化简的结果，是基础题19. 已知椭圆C的焦点为F1(22,0)和F2(22,0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点.求：(1)椭圆C的标准方程；(2)弦AB的中点坐标及弦长【答案】解：(1)椭圆C的焦点为F1(22,0)和F2(22,0)，长轴长为6，椭圆的焦点在x轴上，c=22，a=3，b=1，椭圆C的标准方程x29+y2=1(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB线段的中点为M(x0,y0)，由x2+9y2=9y=x+2，消去y，得10x2+36x+27=0，x1+x2=185，x1x2=2710，x0=95，y0=x0+2=295=15，弦AB的中点坐标为(95,15)，|AB|=1+k2|x1x2|=1+k2(x1+x2)24x1x2=2(185)242710=63520. 在平面xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)过点P(2,1)，且离心率e=32(1)求椭圆C的方程；(2)直线l方程为y=12x+m，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值【答案】(12分)解：(1)椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)过点P(2,1)，且离心率e=32可得：4a2+1a2c2=1ca=32，解得a=22，c=6，则b=2，椭圆方程为：x28+y22=1(2)设直线方程为y=12x+m，A(x1,y1)、B(x2,y2)，联立方程组y=12x+mx28+y22=1整理得：x2+2mx+2m24=0，x1+x2=2m，x1x2=2m24，利用弦长公式得：|AB|=5(4m2)，由点线距离公式得到P到l的距离d=2|m|5S=12|AB|d=125(4m2)2|m|5=m2(4m2)m2+(4m2)2=2当且仅当m2=2，即m=2时取到最大值.最大值为：2