2019-2020学年高中数学上学期第17周 三角恒等变换教学设计.doc

2019-2020学年高中数学上学期第17周 三角恒等变换教学设计本章知识框图 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,以及运用这些公式进行简单的恒等变换.变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一.在本册第一章,学生接触了同角三角函数公式.在本章,学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式,由此出发导出其他的三角变换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力,并体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用. 本章内容安排按两条线进行,一条明线是建立公式,学习变换;一条暗线就是发展推理能力和运算能力,并且发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中,也体现在建立公式的过程之中.因此在本章教学中,教师要特别注意恰时恰点地提出问题,引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题,使学生能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角函数恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换,强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识. 突出数学思想方法的教学,在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导,本章不仅关注使学生得到和(差)角公式,而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法.例如,在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想以及向量方法的应用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,在这个过程中,始终引导学生体会化归思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法,特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用,对学生解决问题的一般思路进行引导,这对学生养成科学的数学思考习惯能起到积极的促进作用.另外,还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结.例如,在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的,2是的二倍,4是2的二倍,这里蕴含着换元的思想”等,都是为了加强思想方法而设置的. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考查的“重点”和“热点”,在高考中占有重要的地位,主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变形用,考查对公式的熟练掌握程度和灵活运用能力,其考查难度属低档,这就要求我们不要过分引导学生去挖掘一些特殊的变化技巧,应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上. 教师在教学中,要注意控制好难度.因为近几年的高考中对三角部分的考查难度降低,但教材中部分习题却有一定难度,因此教师要把握好难度.本章教学时间约需8课时,具体分配如下(仅供参考):节 次标 题课 时3.1.1两角差的余弦公式1课时3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式2课时3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1课时3.2简单的三角恒等变换2课时本章复习2课时3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式整体设计一、教学分析 本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:实际问题中存在研究像tan(45+)这样的包含两个角的三角函数的需要;实际问题中存在研究像sin与tan(45+)这样的包含两角和的三角函数与、45单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程. 本节首先引导学生对cos(-)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出-角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式. 本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:要使学生了解公式的由来;使学生认识公式的结构特征,加以记忆;使学生掌握公式的推导和证明;通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.二、教学目标1知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.三、重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.四、课时安排1课时五、教学设想（一）导入新课思路1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:实际问题中存在研究像tan(45+)这样的包含两个角的三角函数的需要;实际问题中存在研究像sin与tan(45+)这样的包含两角和的三角函数与、45单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课.思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45=,cos30=,由此我们能否得到cos15=cos(45-30)=?这里是不是等于cos45-cos30呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(-)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.（二）推进新课、新知探究、提出问题请学生猜想cos(-)=?利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用、的三角函数来表示cos(-)呢？利用向量的知识,又能如何推导发现cos(-)=?细心观察C(-)公式的结构,它有哪些特征？其中、角的取值范围如何？如何正用、逆用、灵活运用C(-)公式进行求值计算？ 活动:问题,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(-)=cos-cos的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如=60,=30,则cos(-)=cos30=,而cos-cos=cos60-cos30=,这一反例足以说明cos(-)cos-cos. 让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可. 问题,既然cos(-)cos-cos,那么cos(-)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是-这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1,设角的终边与单位圆的交点为P1,POP1=,则POx=-.过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角-的余弦线,即OM=cos(-),这里就是要用角、的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C.那么,OA表示cos,AP表示sin,并且PAC=P1Ox=.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=coscos+sinsin,所以,cos(-)=coscos+sinsin. 教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角、-是有条件限制的,即、-均为锐角,且,如果要说明此结果是否对任意角、都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图2 问题,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角、,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则=(cos,sin),=(cos,sin),AOB=-. 由向量数量积的定义有=|cos(-)=cos(-), 由向量数量积的坐标表示有 =(cos,sin)(cos,sin)=coscos+sinsin, 于是,cos(-)=coscos+sinsin. 我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角-必须符合条件0-,以上结论才正确,由于、都是任意角,-也是任意角,因此就是研究当-是任意角时,以上公式是否正确的问题.当-是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角0,2),使cos=cos(-),若0,则=cos=cos(-).若,2,则2-0,且=cos(2-)=cos=cos(-).由此可知,对于任意角、都有cos(-)=coscos+sinsin(C(-) 此公式给出了任意角、的正弦、余弦值与其差角-的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C(-).有了公式C(-)以后,我们只要知道cos、cos、sin、sin的值,就可以求得cos(-)的值了. 问题,教师引导学生细心观察公式C(-)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=_,cos(-)=_等.因此,只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了. 问题,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75cos45+sin75sin45=cos(75-45)=cos30=,cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin.讨论结果:略.（三）应用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15的值. 活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15=45-30或者15=60-45,从而就可以直接套用公式C(-)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=方法二:cos15=cos(60-45)=cos60cos45sin60sin45= 点评:本题是指定方法求cos15的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.不查表求sin75,sin15的值.解:sin75=cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=sin15=点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110cos20sin110sin20.解:原式=cos(110-20)=cos90=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C(-)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110-20).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sin=,(,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值. 活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(-)的值,必先知道sin、cos、sin、cos的值,然后利用公式C(-)即可求解.从已知条件看,还少cos与sin的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角、所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成.解:由sin=,(,),得cos=又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 点评:本题是直接运用公式C(-)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.变式训练已知sin=,(0,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值.解:当,)时,且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=.所以cos(-)=coscos+sinsin=.当(0,)时,且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 点评:本题与例2的显著的不同点就是角的范围不同.由于(0,),这样cos的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.思路2例1 计算:(1)cos(-15);(2)cos15cos105sin15sin105;(3)sinxsin(x+y)cosxcos(x+y). 活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15=15-30或-15=45-60,然后套用公式求值即可.也可化cos(-15)=cos15再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式C(-)的右边一致,从而化为特殊角的余弦函数.解:(1)原式=cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=(2)原式=cos(15-105)=cos(-90)=cos90=0.(3)原式=cosx-(x+y)=cos(-y)=cosy. 点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下牢固的基础.例2 已知cos=,cos(+)=,且、(0, ),求cos的值. 活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究、+、之间的关系,也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到=(+)-的关系式,然后利用公式C(-)求值即可.但还应提醒学生注意由、的取值范围求出+的取值范围,这是很关键的一点,从而判断sin(+)的符号进而求出cos.解:、(0,),+(0,).又cos=,cos(+)=,sin=sin(+)=又=(+)-,cos=cos(+)cos+sin(+)sin= 点评:本题相对于例1难度大有提高,但是只要引导适当,学生不难得到=(+)-的关系式,继而运用公式解决.但值得注意的是+的取值范围确定,也是很关键的,这是我们以后解题当中常见的问题.变式训练1.求值:cos15+sin15.解:原式=cos15+sin15)=(cos45cos15+sin45sin15)=cos(45-15)= cos30=.2.已知sin+sin=,cos+cos=,求cos(-)的值.解:(sin+sin)2=()2,(cos+cos)2=()2,以上两式展开两边分别相加得2+2cos(-)=1,cos(-)=. 点评:本题又是公式C(-)的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方,从而得到公式C(-)中coscos和sinsin的值,即可求得cos(-)的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.3.已知锐角、满足cos=,tan(-)=,求cos.解:为锐角,且cos=,得sin=.又0,0,-.又tan(-)= 0,cos(-)=.从而sin(-)=tan(-)cos(-)=.cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=.（四）课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.（五）作业3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式整体设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(-)与cos(+),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即+=-(-)的关系，从而由公式C(-)推得公式C(+)，又如比较sin(-)与cos(-)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(-)、S(+)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、课时安排2课时五、教学设想第1课时（一）导入新课 思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(-)与cos(+)、sin(-)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(+)、S(-)、S(+).本节课我们共同研究公式的推导及其应用. 思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sin=，(0,)，cos=,(0,),求cos(-),cos(+)的值.学生利用公式C（-）很容易求得cos（-），但是如果求cos（+）的值就得想法转化为公式C（-）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.（二）推进新课、新知探究、提出问题还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.在公式C(-)中，角是任意角，请学生思考角-中换成角-是否可以？此时观察角+与-(-)之间的联系，如何利用公式C(-)来推导cos(+)=?分析观察C(+)的结构有何特征？在公式C(-)、C(+)的基础上能否推导sin(+)=?sin(-)=?公式S(-)、S(+)的结构特征如何？对比分析公式C(-)、C(+)、S(-)、S(+)，能否推导出tan(-)=?tan（+）=？分析观察公式T(-)、T(+)的结构特征如何？思考如何灵活运用公式解题？ 活动：对问题，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的,既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(-)与cos(+)中角的内在联系，学生有的会发现-中的角可以变为角-，所以-(-)=+也有的会根据加减运算关系直接把和角+化成差角-(-)的形式.这时教师适时引导学生转移到公式C(-)上来,这样就很自然地得到cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin.所以有如下公式：cos(+)=coscos-sinsin我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(+).对问题，教师引导学生细心观察公式C(+)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C(-)进行记忆，并填空：cos75=cos(_)=_=_.对问题，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2+cos2=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(+)=cos-(+)=cos(-)-=cos(-)cos+sin(-)sin=sincos+cossin.在上述公式中,用-代之，则sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+cossin(-)=sincos-cossin.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(+)、S(-).sin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin. 对问题，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(+)=_，sin=_. 对问题，教师引导学生思考，在我们推出了公式C(-)、C(+)、S(+)、S(-)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(-)=?,tan(+)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.当cos(+)0时，tan(+)=如果coscos0,即cos0且cos0时,分子、分母同除以coscos得tan(+)=，据角、的任意性，在上面的式子中，用-代之，则有tan(-)=由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(-)、T(+).tan(+)=tan(-)= 对问题,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中、的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，、都不能等于+k(kZ)，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆. 对问题，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C(+)、S(+)、T(+)叫和角公式；S(-)、C(-)、T(-)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式 tan+tan=tan(+)(1-tantan)，tan-tan=tan(-)(1+tantan)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tan，tan或tan（）的值不存在时，不能使用T（）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(-)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-)=来处理等.（三）应用示例思路1例1 已知sin=,是第四象限角，求sin(-),cos(+),tan(-)的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cos,tan的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sin=,是第四象限角，得cos=.tan=.于是有sin(-)=sincos-cossin=cos(+)=coscos-sinsin=tan(-)=. 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75,tan105的值.解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=,tan105=tan(60+45)= =-(2+).2.设(0,),若sin=,则2sin(+)等于( )A. B. C. D.4答案：A例2 已知sin=,(,),cos=,(,).求sin(-),cos(+),tan(+). 活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(-)、C(+)、T(+)应先求出cos、sin、tan、tan的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sin=,(,),得cos=-=，tan=.又由cos=,(,).sin=,tan=.sin(-)=sincos-cossin=()-(.cos(+)=coscos-sinsin=()()-()=tan(+)=. 点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练 引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，CAB=，则sin=，在RtABD中，tan(45+)=tan.于是x=,又sin=,(0,),cos,tan.tan(45+)=3,x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在ABC中，sinA=(0A45),cosB=(45B90)，求sinC与cosC的值. 活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:在ABC中,A+B+C=180,C=180-(A+B).又sinA=且0A45,cosA=.又cosB=且45B90,sinB=.sinC=sin180-(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=+=,cosC=cos180-(A+B)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=-=. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180这一暗含条件.变式训练 在ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB1,则ABC是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(+)=,cos(-)=,且0,求cos(+)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换,角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.解：0,+,-0,又已知sin(+)=,cos(-)=,cos(+)=,sin(-)=.cos(+)=sin+(+)=sin(+)-(-)=sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-)=-()()=. 本题是典型的变角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知,(,),sin(+)=,sin(-)=,求cos(+)的值.解：,(,),sin(+)=,sin(-)=,+2,-.cos(+)=,cos(-)=. cos(+)=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=()+()=.例2 化简 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.解：原式=0.点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练化简解：原式=（四）作业已知0,cos(-)=,sin(+)=,求sin(+)的值.解：,-0.sin(-)=.又0,+,cos(+)=.sin(+)=-cos(+)=-cos(+)-(-)=-cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)=-()()=.（五）课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.第2课时（一）导入新课 思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用. 思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos（）cossin（）sin;(2);(3)2.证明下列各式(1)(2)tan（）tan（-）（1-tan2tan2）tan2-tan2;(3)答案:1.(1)cos;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考. 活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当、中有一个角为90时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如=(+)-,等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin（）sincoscossin（）;cos（）coscossinsinC（）;tan（）T（）.讨论结果：略.（三）应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72cos42-cos72sin42;（2）cos20cos70-sin20sin70;（3） 活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S(-)的右边，（2）同公式C(+)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T(+)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45=1，原式化为，再逆用公式T(+)即可解得.解：（1）由公式S(-)得原式=sin(72-42)=sin30=.（2）由公式C(+)得原式=cos(20+70)=cos90=0.（3）由公式T(+)得原式=tan(45+15)=tan60=. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练1.化简求值：（1）cos44sin14-sin44cos14;（2）sin14cos16+sin76cos74;（3）sin(54-x)cos(36+x)+cos(54-x)sin(36+x).解：（1）原式=sin(14-44)=sin(-30)=-sin30=.（2）原式=sin14cos16+cos14sin16=sin(14+16)=sin30=.（3）原式=sin(54-x)+(36+x)=sin90=1.2.计算解：原式=tan(45-75)=tan(-30)=-tan30=.例2 已知函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的定义域为R,设0,2,若f(x)为偶函数,求的值. 活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.解:f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),即sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-),即-sinxcos+cosxsin+cosxcos-sinxsin=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin.sinxcos+sinxsin=0.sinx(sin+cos)=0对任意x都成立.sin(+)=0,即sin(+)=0.+=k(kZ).=k-(kZ).又0,2),=或=. 点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.变式训练已知：,cos(-)=,sin(+)=,求cos2的值.解：,0-,+.又cos(-)=,sin(+)= ,sin(-)=,cos(+)=.cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=+()=.例3 求证：cos+sin=2sin(+). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S(+)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S(+)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.证明：方法一：右边=2(sincos+cossin)=2(cos+sin)=cos+sin=左边.方法二：左边=2(cos+sin)=2(sincos+cossin)=2sin(+)=右边. 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与分别变为了与，即辅助角的正、余弦.关于形如asinx+bcosx（a，b不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+)的形式.一般情况下，如果a=os,b=Asin,那么asinx+bcosx=A(sinxcos+cosxsin)=Asin(x+).由sin2+cos2=1,可得A2=a2+b2,A=,不妨取A=,于是得到cos=,sin=,从而得到tan=,因此asinx+bcosx=sin(x+)，通过引入辅助角，可以将asinx+bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.变式训练 化简下列各式：（1）sinx+cosx;（2）cosx-6sinx.解：（1）原式=2(sinx+cosx)=2(cossinx+sincosx)=2sin(x+).（2）原式=2 (cosx-sinx)=2(sincosx-cossinx)=2sin(-x).例4 （1）已知+=45,求(1+tan)(1+tan)的值;（2）已知sin(+)=,sin(-)=,求 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，+是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tan,tan的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求若利用已知条件直接求tan,tan的值是有一定的困难，但细心观察公式S(+)、S(-)发现，它们都含有sincos和cossin，而化切为弦正是，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答.解：（1）+=45,tan(+)=tan45=1.又tan(+)=tan+tan=tan(+)(1-tantan),即tan+tan=1-tantan.原式=1+tan+tan+tantan=1+(1-tantan)+tantan=2.（2）sin(+)=,sin(-)= ,sincos+cossin=, sincos-coscos=. +得sincos=,-得cossin=, 点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现+为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tan+tan=tan(+)(1-tantan),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.变式训练1.求(1+tan1)(1+tan2)(1+tan3)(1+tan44)(1+tan45)的值.解：原式=(1+tan1)(1+tan44)(1+tan2)(1+tan43)(1+tan22)(1+tan23)(1+tan45)=2222=223.2.计算：tan15+tan30+tan15tan30.解：原式=tan45(1-ta