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第1讲概率与统计(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号抽样方法1,6古典概型3,7,11,12几何概型2,10统计图表估计总体4用样本频率估计总体概率5,8用样本的数字特征估计总体的数字特征9,12一、选择题1.某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为(C)类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300(A)90 (B)100(C)180(D)300解析:设该样本中的老年教师人数为x,则x900=3201 600,解得x=180.故选C.2.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(B)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:由几何概型的概率计算公式可知,质点落在以AB为直径的半圆内的概率P=半圆的面积长方形的面积=122=4.故选B.3.(2018南昌市摸底)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊,为庆祝兄弟相聚,甲发了一个9元的红包,被乙、丙、丁三人抢完,已知三人抢到的钱数均为整数,且每人至少抢到2元,则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率是(C)(A)13(B)310(C)25(D)34解析:设乙、丙、丁分别抢到x元,y元,z元,记为(x,y,z),则基本事件有(2,2,5),(2,5,2),(5,2,2),(2,3,4),(2,4,3), (3,2,4),(3,4,2),(4,3,2),(4,2,3),(3,3,3),共10个,其中符合丙获得“手气最佳”的基本事件有4个,所以丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率P=410=25.故选C.4.(2018石家庄市二次质检)某学校A,B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩的茎叶图如图,通过茎叶图比较两班数学兴趣小组成绩的平均值及标准差.A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班数学兴趣小组的平均成绩B班数学兴趣小组的平均成绩高于A班数学兴趣小组的平均成绩A班数学兴趣小组成绩的标准差大于B班数学兴趣小组成绩的标 准差B班数学兴趣小组成绩的标准差大于A班数学兴趣小组成绩的标 准差其中正确结论的编号为(B)(A)(B)(C)(D)解析:观察题中茎叶图可知,A班数学兴趣小组的成绩主要分布在7090,而B班数学兴趣小组的成绩主要分布在5080,因此可以推断出A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班数学兴趣小组的平均成绩,又A班数学兴趣小组成绩较集中,B班数学兴趣小组成绩较分散,因此可以推断出A班数学兴趣小组成绩的标准差要小于B班数学兴趣小组成绩的标准差.故选B.5.(2018海南省八校联考)某高校调查了400名大学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30,样本数据分组17.5,20),20,22.5), 22.5,25),25,27.5),27.5,30.则这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是(A)(A)380(B)360(C)340(D)320解析:由频率分布直方图得这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的频率为(0.08+0.04+0.16+0.10)2.5=0.95,所以这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数为4000.95=380.选A.6.某学校采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从3348这16个数中抽到的数是39,则在116中随机抽到的数是(B)(A)5(B)7(C)11(D)13解析:把800名学生平均分成50组,每组16人,各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列,39在第3组,所以第1组抽到的数为39-32=7.故选B.7.(2018湖北武汉高三调研)将一枚质地均匀的骰子投两次,得到的点数依次记为a和b,则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是(C)(A)736(B)12(C)1936(D)518解析:若方程ax2+bx+1=0有实根,则必有=b2-4a0,若a=1,则b=2,3,4,5,6;若a=2,则b=3,4,5,6;若a=3,则b=4,5,6;若a=4,则b=4,5,6;若a=5,则b=5,6;若a=6,则b=5,6,所以事件“方程ax2+bx+1=0有实根.”包含基本事件共5+4+3+3+2+2=19,所以事件的概率为1936.故选C.二、填空题8.(2018南昌市二次模拟)从某企业的某种产品中抽取 1 000 件,测量该种产品的一项质量指标值,由测量结果得到如图所示的概率分布直方图.若该产品的这项指标值在185,215)内,则该产品的这项指标合格,估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为.解析:由题中频率分布直方图知,指标值在185,215)内的频率为10(0.022+0.033+0.024)=0.79,故据此可估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为0.79.答案:0.799.(2018武汉市调研)从某选手的7个得分中去掉1个最高分,去掉1个最低分后,剩余5个得分的平均数为91分,如图所示是该选手得分的茎叶图,其中有一个数字模糊,无法辨认,在图中用x表示,则剩余5个得分的方差为.解析:去掉一个最高分99分,一个最低分87分,剩余的得分为93分,90分,(90+x)分,91分,87分,则93+90+90+x+91+875=91,解得x=4,所以这5个数的方差s2=15(93-91)2+(90-91)2+(94-91)2+(91-91)2+(87-91)2=6.答案:610.甲、乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车,在这段时间内有3班公共汽车,它们开车时刻分别为7:20,7:40,8:00,如果他们约定,见车就乘,则甲、乙同乘一车的概率为.解析:设甲到达该站的时刻为x,乙到达该站的时刻为y,则7x8,7y8,即甲、乙两人到达该站的时刻(x,y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大(单位)正方形.将三班车到站的时刻在图形中画出,则甲、乙两人要想乘同一班车,必须满足7x713,7y713或713x723,713y723或723x8,723x乙,s甲2s乙2,所以甲组的研发水平优于乙组.(2)记E=恰有一组研发成功.在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b)共7个.因此事件E发生的频率为715.用频率估计概率,即得所求概率为P(E)=715.
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