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课堂达标(五十八) 直接证明与间接证明A基础巩固练1(2018太原模拟)命题“如果数列an的前n项和Sn2n23n，那么数列an一定是等差数列”是否成立()A不成立B成立C不能断定 D与n取值有关解析因为Sn2n23n，所以n1时a1S11，当n2时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5，n1时适合an，且anan14，故an为等差数列，即命题成立答案B2(2018宁波模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析ab2ac3a2，(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案C3(2018上饶月考)设x，y，z0，则三个数，()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2解析因为6，当且仅当xyz时等号成立所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.答案C4(2018山西质量监测)对累乘运算有如下定义：ka1a2an，则下列命题中的真命题是()A.k不能被10100整除B.22 015C.(2k1)不能被5100整除D.(2k1)k解析因为(2k1)k(1352 015)(2462 014)1232 0142 015，故选D.答案D5(2016浙江卷)已知实数a，b，c()A若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2100B若|a2bc|a2bc|1，则a2b2c2100C若|abc2|abc2|1，则a2b2c2100D若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c21；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A BC D解析若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.答案C7设ab0，m，n，则m，n的大小关系是_解析取a2，b1，得mn.再用分析法证明：a0，显然成立答案m0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn_.解析通过等差数列的结论类比推理可得：若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn.证明如下：设等比数列的首项为b1，公比为q0.则bmcb1qm1，bnb1qn1，化为bq(nm)(nm1)，b1qnm1bmn.答案10已知非零向量a，b，且ab，求证：.证明abab0，要证.只需证|a|b|ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证B能力提升练1(2018福州模拟)设0x0，b0，a，b为常数，的最小值是()A4ab B2(a2b2)C(ab)2 D(ab)2解析(x1x)a2b2a2b22ab(ab)2.当且仅当x时，等号成立答案C2(2016北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析取两个球共有4种情况：红红，则乙盒中红球数加1个；黑黑，则丙盒中黑球数加1个；红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，xya.则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，kjx；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，ily；黑球总数ayij，又xya，故xij，由于xkj，所以可得ik，即乙中的红球等于丙中的黑球故选B.答案B3(2016全国卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_. 解析设三张卡片分别为A(1,2)，B(1,3)，C(2,3)，由丙得数字和不是5，则丙的卡片可能为A或B.若丙为A(1,2)，则乙为C(2,3)，甲为B(1,3)合题，若丙为B(1,3)，则甲、乙为相同数字2，不合题答案1和34(2018广东实验中学段考)已知点A(x1，ax1)、B(x2，ax2)是函数yax(a1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论a成立运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)、B(x2，sin x2)是函数ysin xx(0，)图象上的不同两点，则类似地有_成立解析由题意知，点A、B是函数yax(a1)的图象上任意不同两点，函数yax(a1)图象下凸，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明：是f(x)0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：2b1.解(1)证明：f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，又x1x2，x2，是f(x)0的一个根(2)假设0，由0x0，知f0与f0矛盾，c，又c，c.(3)证明：由f(c)0，得acb10，b1ac.又a0，c0，b1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为xx2，即0，b2，2b1.
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