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第四章 导数及其应用章末检测一、选择题1(2013广东改编)若曲线y2x2的一条切线l与直线x4y80垂直，则切线l的方程为()Ax4y30 Bx4y90C4xy30 D4xy20答案D解析y4x，设切点M(x0，y0)，k4x0.又x4y80的斜率k1，k4x04，x01，y02x2，即切点为M(1,2)，k4.故切线l的方程为y24(x1)，即4xy20，故选D.2函数yx42x25的单调减区间为()A(，1)及(0,1) B(1,0)及(1，)C(1,1) D(，1)及(1，)答案A解析y4x34x4x(x21)，令y0得x的范围为(，1)(0,1)，故选A.3一物体在变力F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30方向作直线运动，则由x1运动到x2时F(x)作的功为()A. J B. JC. J D2 J答案C解析由于F(x)与位移方向成30角如图：F在位移方向上的分力FFcos 30，W(5x2)cos 30dx(5x2)dx (J)4.(2012重庆改编)已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)()A在(，0)上为减函数B在x0处取极小值C在(4，)上为减函数D在x2处取极大值答案C解析使f(x)0的x的取值范围为增区间；使f(x)0的x的取值范围为减区间5已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A(，) B，C(，) D(，)答案B解析f(x)3x22ax10在(，)恒成立，4a2120a.6设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0()Ae2 Bln 2 C. De答案D解析f(x)x(ln x)(x)ln x1ln x，f(x0)1ln x02，ln x01，x0e.7设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)()A在区间(1，e)内均有零点B在区间(1，e)内均无零点C在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点答案C解析由题意得f(x)，令f(x)0得x3；令f(x)0得0x3；f(x)0得x3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，)为增函数，在点x3处有极小值1ln 30；又f(1)0，f(e)10，f10.8曲线ysin x，ycos x与直线x0，x所围成的平面区域的面积为()A (sin xcos x)dx B (sin xcos x)dxC (cos xsin x)dx D (cos xsin x)dx答案D解析如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0x阴影部分面积的2倍故选D.9设函数f(x)x3x2tan ，其中，则导数f(1)的取值范围是()A2,2 B，C，2 D，2答案D解析f(x)x2sin xcos ，f(1)sin cos 22sin.0，sin1.2sin2.10方程2x36x270在(0,2)内根的个数有()A0 B1 C2 D3答案B解析令f(x)2x36x27，f(x)6x212x6x(x2)，由f(x)0得x2或x0；由f(x)0得0x2；又f(0)70，f(2)10，f(x)在(0,2)内单调递减，方程在(0,2)内只有一实根二、填空题11(2013广东)若曲线ykxlnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.答案1解析求导得yk，依题意k10，所以k1.12已知函数f(x)x3ax在区间(1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案a3解析由题意应有f(x)3x2a0，在区间(1,1)上恒成立，则a3x2，x(1,1)恒成立，故a3.13.已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：函数f(x)在区间(1，)上是增函数；函数f(x)在区间(1,1)上无单调性；函数f(x)在x处取得极大值；函数f(x)在x1处取得极小值其中正确的说法有_答案解析从图象上可以发现，当x(1，)时，xf(x)0，于是f(x)0，故f(x)在区间(1，)上是增函数，故正确；当x(1,1)时，f(x)0，所以函数f(x)在区间(1,1)上是减函数，错误，也错误；当0x1时，f(x)在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，)上是增函数，所以函数f(x)在x1处取得极小值，故正确14设曲线yxn1(nN*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 014x1log2 014x2log2 014x2 013的值为_答案1解析y|x1n1，切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn.所以log2 014x1log2 014x2log2 014x2 015log2 014(x1x2x2 013)log2 014log2 0141.三、解答题15设函数f(x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.已知f(x)在x3处取得极值(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程解(1)f(x)6x26(a1)x6a.f(x)在x3处取得极值，f(3)696(a1)36a0，解得a3.f(x)2x312x218x8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f(x)6x224x18，f(1)624180，切线方程为y16.16设a1，函数f(x)x3ax2b (1x1)的最大值为1，最小值为，求常数a，b.解令f(x)3x23ax0，得x10，x2a.f(0)b ，f(a)b, f(1)1ab，f(1)1ab.因为a1，所以1a0，故最大值为f(0)b1，所以f(x)的最小值为f(1)1aba，所以a，所以a.故a，b1.17若函数f(x)4x3ax3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？解若f(x)在上为单调增函数，则f(x)0在上恒成立，即12x2a0在上恒成立，a12x2在上恒成立，a(12x2)min0.当a0时，f(x)12x20恒成立(只有x0时f(x)0)a0符合题意若f(x)在上为单调减函数，则f(x)0在上恒成立，即12x2a0在上恒成立，a12x2在上恒成立，a(12x2)max3.当a3时，f(x)12x233(4x21)0恒成立(且只有x时f(x)0)因此，a的取值范围为a0或a3.18如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价解(1)设长为x m，则宽为 m.据题意解得x16.y40024816 000800x16 000，(2)y8000，解得x18.当x(0,18)时，函数y为减函数；当x(18，)时，函数y为增函数又x16，当x16时，ymin45 000.当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元
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