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7.1 计数原理、二项式定理【课时作业】A级1设M，N是两个非空集合，定义MN(a，b)|aM，bN，若P0,1,2,3，Q1,2,3,4,5，则PQ中元素的个数是()A4 B9C20 D24解析：依题意，a有4种取法，b有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4520种不同取法，共有20个不同元素，故选C.答案：C2满足m，n1,0,1,2,3，且关于x的方程mx22xn0有实数解的有序数对(m，n)的个数为()A17 B14C13 D12解析：当m0时，2xn0x，有序数对(0，n)有5个；当m0时，44mn0mn1，有序数对(1，n)有5个，(1，n)有3个，(2，n)有2个，(3，n)有2个综上，共有5532217(个)，故选A.答案：A3已知(x2)15a0a1(1x)a2(1x)2a15(1x)15，则a13的值为()A945 B945C1 024 D1 024解析：由(x2)153(1x)15a0a1(1x)a2(1x)2a15(1x)15，得a13C32(1)13945.答案：B4从5个不同的小球中选4个放入3个箱子中，要求第一个箱子放入1个小球，第二个箱子放入2个小球，第三个箱子放入1个小球，则不同的放法共有()A120种 B96种C60种 D48种解析：第一步，从5个不同的小球中选4个，共有C5种不同的方法；第二步，从选出的4个小球中选出1个放入第一个箱子，共有C4种不同的方法；第三步，从剩下的3个小球中选出2个放入第二个箱子，共有C3种不同的方法；第四步，将最后1个小球放入第三个箱子，共有C1种不同的方法故不同的放法共有543160种答案：C5在30的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A4项 B5项C6项 D7项解析：由于Tr1Cx15r(0r30，rN)，若展开式中x的幂指数为整数，由通项公式可知r为6的倍数，易知r0,6,12,18,24,30均符合条件答案：C6在二项式n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是()A56 B35C35 D56解析：因为展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，所以n8，所以二项展开式的通项公式为Tr1Cx8r(x1)r(1)rCx82r，令82r2得r3，所以展开式中含x2项的系数是(1)3C56.答案：A7若二项式6的展开式中的常数项为m，则(x22x)dx()A. BC. D解析：二项式6的展开式的通项公式为：Tr1C6rx123r，令123r0，则r4.即有mC23.则(x22x)dx(x22x)dx.答案：C87名股民每人拿出1万元人民币准备购买两种不同的股票，若每种股票至少有2人购买，则不同的购买方法有()A110种 B112种C124种 D132种解析：7名股民每人拿出1万元人民币购买两种不同的股票，每种股票至少有2人购买，其方式有2,5和3,4两种组合一种股票2人购买，另一种股票5人购买，有CA种方法；一种股票3人购买，另一种股票4人购买，有CA种方法因此，共有CACA112种购买方法故选B.答案：B9若m，n均为非负整数，在做mn的加法时各位均不进位(例如：1343 8023 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而mn称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是()A100 B150C30 D300解析：第一步，110,101，共2种组合方式；第二步，909,918,927,936，990，共10种组合方式；第三步，404,413,422,431,440，共5种组合方式；第四步，202,211,220，共3种组合方式根据分步乘法计数原理知，值为1 942的“简单的”有序对的个数是21053300.故选D.答案：D10.5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为()A40 B20C20 D40解析：令x1，可得a12，a1，5的展开式中项的系数为(1)3C22，x项的系数为C23，5的展开式中的常数项为(1)3C22C2340.故选D.答案：D11已知(x22x3y)5的展开式中x5y2的系数为()A60 B180C520 D540解析：(x22x3y)5可看作5个(x22x3y)相乘，从中选2个y，有C种选法，再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有CC种选法，所以x5y2的系数为32CC2C540.答案：D12若n(nN*)的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若PS272，则函数f(x)n在(0，)上的最小值为()A144 B256C24 D64解析：由题意可得P4n，S2n，所以PS4n2n272，得2n16，所以n4，在(0，)上函数f(x)n4(2)4144，当且仅当x时，等号成立，故函数f(x)n在(0，)上的最小值为144，故选A.答案：A13(2018浙江卷)二项式8的展开式的常数项是_解析：由题意，得Tr1C()8rrCrxxrCrx.令0，得r2.因此T3C27.答案：714(2017天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)解析：有一个数字是偶数的四位数有CCA960个没有偶数的四位数有A120个故这样的四位数一共有9601201 080个答案：1 08015已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有_种解析：先在A，B，C三个区域种植3种不同的植物，共有A6种种法，若E与A相同，最后种D，有1种种法；若E与C相同，最后种D，有2种种法，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有6(12)18种种法答案：1816已知(2x1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x项的系数为_解析：因为已知(2x1)5的展开式中各项系数的和为m12，所以m1，所以(2x1)5C(2x)5C(2x)4C(2x)3C(2x)2C2xC，则该展开式中含x项的系数为CC441.答案：41B级1(2018郑州市第二次质量预测)红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有()A240种 B188种C156种 D120种解析：因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论当A在第一位时，有AA48种；当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有CAA36种；当A在第三位时，分两种情况：E，F在A之前，此时应有AA种，E，F在A之后，此时应有AAA种，故而A在第三位时有AAAAA36种综上，共有483636120种不同的安排方案故选D.答案：D2(2018洛阳市尖子生第一次联考)已知(1axby)5(a，b为常数，aN*，bN*)的展开式中不含字母x的项的系数和为243，则函数f(x)，x的最小值为_解析：令x0，y1，得(1b)5243，解得b2.因为x，所以x，则sin xcos xsin1，所以f(x)2(sin xcos x)2sin2.答案：23有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间解析：(1)法一(元素分析法)：先排甲有6种，再排其余人有A种，故共有6A241 920(种)排法法二(位置分析法)：中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有AA336720241 920(种)排法法三(等机会法)：9个人全排列有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A241 920(种)法四(间接法)：A3A6A241 920(种)(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有AA10 080(种)排法(3)(插空法)先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有AA2 880(种)排法4设f(n)(ab)n(nN*，n2)，若f(n)的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P.(1)求证：f(7)具有性质P；(2)若存在n2 016，使f(n)具有性质P，求n的最大值解析：(1)证明：f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为C7，C21，C35，因为CC2C，即C，C，C成等差数列，所以f(7)具有性质P.(2)设f(n)具有性质P，则存在kN*,1kn1，使C，C，C成等差数列，所以CC2C，整理得：4k24nk(n2n2)0，即(2kn)2n2，所以n2为完全平方数，又n2 016，由于4422 0162452，所以n的最大值为44221 934，此时k989或945.
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