2019年高考数学一轮复习 第十六单元 空间向量在立体几何中的应用单元A卷 理.doc

第 十 六 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 注 意 事 项 1 答 题 前 先 将 自 己 的 姓 名 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 2 选 择 题 的 作 答 每 小 题 选 出 答 案 后 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 写 在 试 题 卷 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 3 非 选 择 题 的 作 答 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 写 在 试 题 卷 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 4 考 试 结 束 后 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 已知向量 分别是直线 的方向向量 若 则 A B C D 2 若 则的形状是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 3 如图 空间四边形中 点在上 点为中点 则等于 A B C D 4 在空间直角坐标系中 点关于平面对称的点的坐标为 A B C D 5 已知空间上的两点 以为体对角线构造一个正方体 则该正方体的体积为 A 3 B C 9 D 6 把边长为 2 的正方形沿对角线折起 使得平面平面 则异面直线 所成的角为 A B C D 7 如图所示 在正方体中 已知 分别是和的中点 则与所成角的余弦值为 A B C D 8 设是直线的方向向量 是平面的法向量 则 A B C 或 D 或 9 在正方体中 直线与平面所成角的余弦值为 A B C D 10 在正四棱锥中 为顶点在底面的射影 为侧棱的中点 且 则直线与平面所成的角是 A B C D 11 如图 四棱锥中 平面 底面为直角梯形 点在棱上 且 则平面与平面的夹角的余弦值 为 A B C D 12 如图 已知正方体的上底面中心为 点为上的动点 为的三等分点 靠近点 为的中点 分 别记二面角 的平面角为 则 A B C D 二 填空题 本大题有 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请把答案填在题中横线上 13 设平面的法向量为 平面的法向量为 若 则的值 为 14 已知 点在轴上 且 则点的坐标 为 15 如图 直三棱柱的所有棱长都是 2 以为坐标原点建立空间直角坐标系 则顶点的坐标是 16 正四棱锥的八条棱长都相等 的中点是 则异面直线 所成角的余弦为 三 解答题 本大题有 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 如图 垂直正方形所在平面 是的中点 1 建立适当的空间坐标系 求出的坐标 2 在平面内求一点 使平面 18 12 分 如图 已知三棱锥的侧棱 两两垂直 且 是的中点 1 求异面直线与所成角的余弦值 2 求直线和平面的所成角的正弦值 19 12 分 如图 在四棱锥中 底面是边长为的菱形 平面 是棱上的一个点 为的中 点 1 证明 平面 2 求直线与平面所成角的正弦值 20 12 分 如图 在四棱锥中 底面为矩形 1 求直线与平面所成角的正弦值 2 求二面角的余弦值 21 12 分 如图 已知四棱锥的底面为直角梯形 且 1 求证 平面平面 2 设 求二面角的余弦值 22 12 分 如图 四棱锥中 底面为平行四边形 面 是棱的中点 且 1 求证 面 2 求二面角的大小 3 若是上一点 且直线与平面成角的正弦值为 求的值 单元训练金卷 高三 数学卷答案 A 第 十 六 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 答案 B 解析 由题意可得 解得 故选 B 2 答案 C 解析 因为 所以可知角为钝角 故的形状是钝角三角形 选 C 3 答案 B 解析 由题意 1132MNABOAB 2123OACC 又 故选 B 4 答案 C 解析 关于平面对称的点横坐标 纵坐标不变 竖坐标变为它的相反数 从而有点关于平面对称的点的坐标为 选 C 5 答案 D 解析 设正方体的棱长为 由题意可得 解得 正方体的体积为 故选 D 6 答案 D 解析 如图建立如图所示的空间直角坐标系 则 故 则 所以 故选 D 7 答案 A 解析 建立如图所示的空间坐标系 设边长为 则 故 所以 则 应选答案 A 8 答案 D 解析 因为 所以 即或 故选 D 9 答案 C 解析 分别以 为 轴建立如图所示空间直角坐标系 设正方体的棱长为 1 可得 设是平面的一个法向量 即 取 得 平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为 1126sinco 3BC n 即直线与平面所成角的余弦值是 故选 C 10 答案 D 解析 如图所示 以为原点建立空间直角坐标系 设 则 设平面 PAC 的法向量为 则可求得 则 直线与平面所成的角为 故选 D 11 答案 B 解析 以 B 为坐标原点 分别以 BC BA BP 所在直线为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 则 设平面 BED 的一个法向量为 则 取 得 平面 ABE 的法向量为 平面 ABE 与平面 BED 的夹角的余弦值为 故选 B 12 答案 D 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 考虑点 与点 A 重合时的情况 设正方体的棱长为 1 则 设平面 的一个法向量为 由 1010232xOQxyzzyP n 得 令 得 同理可得平面和平面的法向量分别为 结合图形可得 又 故选 D 二 填空题 本大题有 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请把答案填在题中横线上 13 答案 解析 设平面的法向量 平面的法向量 因为 所以 所以存在实数 使得 所以有 解得 故答案为 14 答案 解析 设 由 得 解得 故点的坐标为 15 答案 解析 即顶点的坐标是 16 答案 解析 以正方形的中心为原点 平行于的直线为轴 平行于的直线为轴 为轴建立如图所示空间 直角坐标系 设四棱锥棱长为 2 则 所以 3132cos 94AESD 故异面直线 所成角的余弦值为 三 解答题 本大题有 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 答案 1 2 点的坐标是 即点是的中点 解析 1 分别以 所在直线分别为轴 轴 轴建立空间坐标系 如图 则 设 则 解得 点坐标是 2 平面 可设 又平面 解得 又 点的坐标是 即点是的中点 18 答案 1 2 解析 1 以为原点 分别为 轴建立空间直角坐标系 则有 所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为 2 设平面 ABC 的法向量为 则知 知取 则 故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值为 19 答案 1 见解析 2 解析 1 证明 连接 设 取的中点 连接 在中 因为 分别为 的中点 所以 又平面 所以平面 同理 在中 平面 因为平面 所以平面 2 以为坐标原点 分别以 所在的直线为 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 在等边三角形中 因为 所以 因此 且 设平面的一个法向量为 则 取 得 直线与平面所成的角为 则 20 答案 1 2 解析 底面 又底面为矩形 分别以 为轴 轴 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则 1 设平面的一个法向量 则 令 得 与平面所成角的正弦值 2 设平面的一个法向量 则令 得 二面角的余弦值为 21 答案 1 见解析 2 解析 1 证明 如图 取 的中点 连接 则四边形为正方形 又 又 平面 又平面 又 平面 又平面 平面平面 2 解 由 1 知 两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 令 则 设平面的一个法向量为 由 得 取 得 又设平面的法向量为 由得 取 得 由图形得二面角为锐角 二面角的余弦值为 22 答案 1 见解析 2 3 解析 证明 1 连结 因为在中 所以 所以 因为 所以 又因为地面 所以 因为 所以平面 2 如图建立空间直角坐标系 则 因为是棱的中点 所以 所以 设为平面的法向量 所以 即 令 则 所以平面的法向量 因为平面 所以是平面的一个法向量 所以 因为二面角为锐二面角 所以二面角的大小为 3 因为是棱上一点 所以设 设直线与平面所成角为 因为平面的法向量 所以 210sinco254ACx n 解得 即 所以