资源描述
专题41 坐标系与参数方程一、考纲要求：1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程5.了解参数方程，了解参数的意义.6.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程二、概念掌握和解题上注意点： 1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点(2)以x轴的非负半轴为极轴(3)两种坐标系规定相同的长度单位2.极坐标与直角坐标互化的策略(1）)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；(2）)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换.3.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等.4.根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.弦长l|t1t2|；弦M1M2的中点t1t20；|M0M1|M0M2|t1t2|.三、高考考题题例分析例1.（2018全国卷I）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2+2cos3=0（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程【答案】（1）（x+1）2+y2=4；（2）例2.（2018全国卷II）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率【答案】（1）：，sinxcosy+2cossin=0； （2）-2【解析】：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：直线l的参数方程为（t为参数）转换为直角坐标方程为：sinxcosy+2cossin=0（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到： +=1整理得：（4cos2+sin2）t2+（8cos+4sin）t8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cos+4sin=0，解得：tan=2，即：直线l的斜率为2 坐标系与参数方程练习题1若函数yf(x)的图象在伸缩变换：的作用下得到曲线的方程为y3sin，求函数yf(x)的最小正周期【答案】.【解析】：由题意，把变换公式代入曲线方程y3 sin得3y3 sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期为.2在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积【答案】(1) C1：cos 2，C2：22cos 4sin 40. (2) 法二：直线C3的直角坐标方程为xy0，圆C2的圆心C2(1,2)到直线C3的距离d，圆C2的半径为1，|MN|2，所以C2MN的面积为.3已知直线l的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标轴中，曲线C的方程为sin cos20.(1)求曲线C的直线坐标方程；(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标【答案】(1) yx20；(2) 4在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中00)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.【答案】(1) 22sin 1a20；(2) a1.【解析】：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a1.6在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为2 sin ，正方形ABCD的顶点都在C1上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为.(1)求点C的直角坐标；(2)若点P在曲线C2：x2y24上运动，求|PB|2|PC|2的取值范围. 【答案】(1) C(1,1)；(2) 144，144所以|PB|2|PC|2144，144 13在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos. (1)求直线l的普通方程和圆心C的直角坐标；(2)求圆C上的点到直线l的距离的最小值【答案】(1) l的普通方程为yx6，圆心C的直角坐标为(，)； (2)2【解析】：(1)由题意得直线l的普通方程为yx6.因为4cos，所以22cos 2sin ，所以圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，即(x)2(y)24，所以圆心C的直角坐标为(，)(2)由(1)知，圆C的半径为r2，且圆心到直线l的距离d42，所以直线l与圆C相离，所以圆C上的点到直线l的距离的最小值为dr422.14在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2.(1)求曲线C2的参数方程；(2)过原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程. 【答案】(1) (为参数)；(2) l1的普通方程为yx.【解析】：(1)依题意，可得C1的普通方程为x2y24，由题意可得C2的普通方程为y21，所以C2的参数方程为(为参数)15,在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a0，为参数)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程cos.(1)若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；(2)A，B为曲线C上的两点，且AOB，求OAB的面积最大值【答案】(1) a1；(2) (2)法一：曲线C的极坐标方程为2acos (a0)，设A的极角为，B的极角为，则SOAB|OA|OB|sin|2acos |a2，cos coscos2sin cos sin 2cos，所以当时，cos取得最大值.OAB的面积最大值为.法二：因为曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆，且AOB，由正弦定理得2a，所以|AB|a.由余弦定理得|AB|23a2|OA|2|OB|2|OA|OB|OA|OB|，所以SOAB|OA|OB|sin3a2，所以OAB的面积最大值为.
展开阅读全文